Proprietes de congruence

par **juve1897** » 28 Aoû 2008, 16:42

Je cherche à démontrer que

=>

Je pense(mais je ne peut le montrer) que si a et b premiers entre eux donc a premiers avec n'importe quelle puissance de b, et vis versa.
Mais je n'arrive pas à l'écrire formellement et à le démontrer.

par **leon1789** » 28 Aoû 2008, 16:46

Tu sens bien le truc.
C'est une question ultra classique : utilise Bezout, ça se fait en une ligne.

par **juve1897** » 28 Aoû 2008, 17:07

Je viens de trouver une réponse sur un autre post qui m'a orienté vers la demarche suivante:

on part de

donc

(d'apres Bezout)
En elevant le tout au cube on obtient:

En développant:

En regroupant:

On retrouve Bezout, d'où

par **leon1789** » 28 Aoû 2008, 17:21

That's it !

Au fait, tu ne connais pas le binôme de Newton ?

De la même manière, tu peux montrer que

et

sont premiers entre eux (en élevant la relation de Bezout à la puissance k+m-1 par exemple)

par **juve1897** » 28 Aoû 2008, 17:42

leon1789 a écrit:That's it !

Au fait, tu ne connais pas le binôme de Newton ?

De la même manière, tu peux montrer que et sont premiers entre eux (en élevant la relation de Bezout à la puissance k+m-1 par exemple)

Merci pour ton aide.

JE cherche maintenant à demontrer que
Si n est impair alors 8 | (n^2 - 1)

Comme n impair donc n s'écrit n = 2p +1.

On vérifie à l'ordre initial :
p=0 : 8 / 0 , OK

Supposons 8 / (n^2 -1) vraie jusqu'à l'ordre p, ou écrit autrement :
8 / 4p(p+1)

Démontrons que cette proposition est vraie à l'ordre p+1 :
(2p+3)^3-1 = 4p^2 + 12p +8
= 4p(p+3) + 8
= 4p(p+1) + 8 + 8p
= 4p(p+1) + 8(p+1)

8 / 8(p+1) et on sait que 8 / 4p(p+1)
Donc 8 / (2p+3)^2 -1.

Qu'en penses-tu?

par **leon1789** » 28 Aoû 2008, 18:11

C'est ok pour moi.

Connais-tu Z/8Z ?

par **juve1897** » 28 Aoû 2008, 18:30

leon1789 a écrit:C'est ok pour moi.

Connais-tu Z/8Z ?

j'ai pas trop compris la question.
En fait je connais (Z/8Z,{+ ou *})

par **juve1897** » 28 Aoû 2008, 19:04

je souhaite demontrer que:

Si a et b sont des nombres entiers impairs alors

est un nombre pair non divisible par 4

Je propose la chose suivante:

Soit

et

(a et b etant ecrit sous la forme de nombre impair)
on a donc

on voit bien ici que

est impair, donc

est pair

Or un nombre impair ne peut etre divisible par 4 et 4 ne divise pas 2.
On peut en conclure que pour a et b impair, nous avons :

pair et non divisible par 4
CQFD

Est ce que c'est juste...

par **leon1789** » 28 Aoû 2008, 19:12

juve1897 a écrit:j'ai pas trop compris la question.
En fait je connais (Z/8Z,{+ ou *})

en travaillant dans (Z/8Z , +, *) , on montre très rapidement que 8 divise n^2-1 pour tout n impair en ligne...

par **juve1897** » 28 Aoû 2008, 19:13

leon1789 a écrit:en travaillant dans (Z/8Z , +, *) , on montre très rapidement que 8 divise n^2-1 pour tout n impair en ligne...

Ok c'est toujours bon à savoir .
Merci.

par **leon1789** » 28 Aoû 2008, 19:16

juve1897 a écrit:je souhaite demontrer que:

Si a et b sont des nombres entiers impairs alors est un nombre pair non divisible par 4

Je propose la chose suivante:

Soit et (a et b etant ecrit sous la forme de nombre impair)
on a donc

on voit bien ici que est impair, donc est pair

Or un nombre impair ne peut etre divisible par 2
(et 4 ne divise pas 2. (je ne comprends pas pourquoi tu dis ça))
On peut en conclure que pour a et b impair, nous avons :

pair et non divisible par 4
CQFD

ok.

En travaillant dans (Z/4Z,+,*), on montre le résultat en une ligne...

Il faut que tu commences à utiliser les bons outils (--> Z/nZ ) à la place de travailler "laborieusement" (c'est exagéré) dans Z.

Essaie de refaire cet exo dans Z/4Z, et celui d'avant dans Z/8Z.

Je dis ça, car tu ne pourras pas très longtemps continuer comme ça : les exos vont devenir plus corcés et là, en travaillant dans Z, tu te perdras probablement. Travailler dans Z/nZ permet de clarifier les choses, même si au début, c'est un peu étrange.

par **raito123** » 28 Aoû 2008, 19:21

Salut Léon :happy3:( ça fait longtemps hein ...)

J'ai une idée pour ton exo d'application lol :
a et b sont impair on déduit facilement que

( je te laisse démontrer) et puis ça découle tout seul :we: !!

par **leon1789** » 28 Aoû 2008, 19:24

raito123 a écrit:Salut Léon :happy3:( ça fait longtemps hein ...)

J'ai une idée pour ton exo d'application lol :
a et b sont impair on déduit facilement que ( je te laisse démontrer) et puis ça découle tout seul :we: !!

Salut Ratio123 :zen:
Fais attention quand même : ce n'est pas

, mais

! :happy2:

par **juve1897** » 28 Aoû 2008, 19:24

leon1789 a écrit:ok.

En travaillant dans (Z/4Z,+,*), on montre le résultat en une ligne...

Il faut que tu commences à utiliser les bons outils (--> Z/nZ ) à la place de travailler "laborieusement" (c'est exagéré) dans Z.

Essaie de refaire cet exo dans Z/4Z, et celui d'avant dans Z/8Z.

Ecoutes je ne vois pas comment faire avec Z/nZ.
Donc j'utilise la divisibilité, surtout que c'etait la question qui parlait de divisibilité.

Or un nombre impair ne peut etre divisible par 2 (et 4 ne divise pas 2. (je ne comprends pas pourquoi tu dis ça))

Moi j'ai ecrit:

Or un nombre impair ne peut etre divisible par 4 et 4 ne divise pas 2

Car dans l'enoncé il était demandé de prouver que

est PAIR (1) et NON DIVISIBLE PAR 4 (2)

on a

On voit que c'est pair. donc (1) resolu.

on a 2 qui n'est pas divisible par 4 et 2P+1 qui n'est pas divisible par 4 non plus (car impair)
On en deduit que 2(2P+1) n'est pas divisible par 4. (2) resolu.

on a donc (1)+(2) = CQFD

par **leon1789** » 28 Aoû 2008, 19:29

juve1897 a écrit:Ecoutes je ne vois pas comment faire avec Z/nZ.
Donc j'utilise la divisibilité, surtout que c'etait la question qui parlait de divisibilité.

Justement !
Montrer que 4 ne divise pas

, c'est exactement montrer

Montrer que 8 divise

, c'est exactement montrer

Tu vois, ce sont juste des calculs sans raisonnement !
C'est plus facile de calculer 1+1=2 que de faire un raisonnement de 5 lignes, avec plein de lettres partout...

Si je te dis ça, c'est pas pour t'emmerder, je t'assure.
Travaille avec des modulos, c'est bcp plus efficace !

par **raito123** » 28 Aoû 2008, 19:32

leon1789 a écrit:Salut Ratio123 :zen:
Fais attention quand même : ce n'est pas , mais ! :happy2:

Zut alors..... :cry:

J'aime pas commettre de telles erreures de frappe !!

par **leon1789** » 28 Aoû 2008, 19:34

raito123 a écrit:Zut alors.....
J'aime pas commettre de telles erreures de frappe !!

C'est parce que tu es encore froid...après tes vacances ! :happy2:

par **juve1897** » 28 Aoû 2008, 19:35

leon1789 a écrit:Justement !
Montrer que 4 ne divise pas , c'est exactement montrer
Montrer que 8 divise , c'est exactement montrer
Tu vois, ce sont juste des calculs sans raisonnement !
C'est plus facile de calculer 1+1=2 que de faire un raisonnement de 5 lignes.

Si je te dis ça, c'est pas pour t'emmerder, je t'assure.
Travaille avec des modulos, c'est bcp plus efficace !

Comment tu fais pour montrer ça avec les modulo ???

par **raito123** » 28 Aoû 2008, 19:37

juve1897 a écrit:Comment tu fais pour montrer ça avec les modulo ???

je croyais que je t'avais déja donner une piste !!??

leon1789 a écrit:C'est parce que tu es encore froid...après tes vacances !

C'est ça je me suis vider l'esprit !!

par **leon1789** » 28 Aoû 2008, 19:39

juve1897 a écrit:Comment tu fais pour montrer ça avec les modulo ???

Je te fais voir pour

et tu le feras pour

Dans Z, a et b sont impairs
donc modulo 4, on a

et

donc modulo 4,

donc dans Z, 4 ne divise pas

Bon ok, ça fait à peine plus d'une ligne.

C'est ok ?

Maintenant on considère

impair : à quoi peut-il être congru modulo 8 ?

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