Polynômes orthogonaux : définitions, propriétés et interprét

[aze321]

J'étudie actuellement les polynômes orthogonaux et je me pose beaucoup de question pouvez-vous m'apporter vos réponses et me dire si ce que je pense est correcte :

Deux polynômes, p et q d'une suite sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul =0 (le produit scalaire=forme bilinéaire symétrique positive définie).

Le produit scalaire de fonctions peut donc être l'intégrale du produit de ces fonctions car
-c'est le plus simple à calculer,
-on peut définir un intervalle d'orthogonalité correspondant aux bornes de l'intégrale.

1) Existe-t-il une autre forme que l'intégrale du produit de des fonctions des polynômes qui permet de calculer le produit scalaire de deux polynômes?
1.1) J'ai cru comprendre que si 2 polynômes P et Q sont orthogonaux alors P²+Q²=(PQ)² est-ce que la réciproque est vrai? Le cas échéant, est-ce que P²+Q²-(PQ)² peut être utilisée pour calculer le produit scalaire (il me semble que non car P²+Q²-(PQ)² n'est pas de forme bilinéaire)?

2) Peut-on donner une interprétation graphique deux polygones orthogonaux ou encore à une base vectorielle construire à partir de polynôme orthogonaux ?
(par exemple si on parle de 2 vecteurs orthogonaux, car leur produit scalaire est nul, alors on peut dire que leur représentation géométrique est symbolisée par deux segments perpendiculaires)
2.1) Par exemple, chaque axe représenterait un polynôme de la base et les valeurs sur chaque axe correspondraient aux valeurs des coefficients de ces polynômes. Le problème de cette interprétation, c'est qu'il serait impossible d'avoir des coefficients incluant l'indéterminé (par exemple dans la relation de récurrence il serait impossible de positionner le coefficient sur l'axe symbolisant le polynôme ).
2.2) Ou encore, chaque polynôme serait représenté par un vecteur dont l'origine serait "l'origine du repère" et le point d'arrivé "les coordonnées des polynômes" (ex: -> (3,0,1)). Le problème de cette interprétation, c'est que les vecteurs construits ainsi ne sont pas orthogonaux deux à deux (dans le cas des polynômes de Legendre, par exemple).

3) Tous polynômes d'une suite orthogonale peuvent s'obtenir par récurrence avec les deux polynômes de degrés inférieurs dans la suite, et par la relation suivante .
Comment fait-on pour trouver les valeurs des coefficients , et ?

4) La propriété de récurrence des polynômes orthogonaux fait intervenir un facteur dans le coefficient , à partir de là, il me semble de manière intuitive qu'un polynôme pourrait s'exprimer dans une base vectoriel formée à partir de polynôme non orthogonaux.
Si c'est possible alors qu'elle est utilité que les polynômes, qui forment une base, soient orthogonaux?

5) Les zéros d'un polynôme orthogonal sont distincts.
Pouvez-vous me donner un exemple d'un polynôme non orthogonal ayant des zéros non distincts?

6) Dans l'intervalle dans lequel les polynômes sont orthogonaux, l'ensemble des zéros des polynômes est dense.
Dans le cadre des polynômes orthogonaux, quel critère permet de dire que l'ensemble des zéros est dense?

[Ben314]

Le produit scalaire de fonctions peut donc être l'intégrale du produit de ces fonctions car
-c'est le plus simple à calculer,
-on peut définir un intervalle d'orthogonalité correspondant aux bornes de l'intégrale.
Et SURTOUT : c'est une forme bilinéaire définie positive !!!!!

1) Existe-t-il une autre forme que l'intégrale du produit de des fonctions des polynômes qui permet de calculer le produit scalaire de deux polynômes?
OUI : tout autre forme bilinéaire définie positive, par exemple, si P=a0+a1X+...+anX^n et Q=b0+b1X+...+bnX^n (avec éventuellement des 0) on pourait définir le produit scalaire comme a0b0+a1b1+...+anbn comme celui de R^n et je ne pense pas (???) que ca corresponde à une intégrale.

1.1) J'ai cru comprendre que si 2 polynômes P et Q sont orthogonaux alors P²+Q²=(P+ Q)² est-ce que la réciproque est vrai?
OUI : cela s'appelle... le théorème de Pythagore, c'est vrai pour tout produit scalaire et cela vient simplement du fait que (P+Q)²=P²+Q²+2
Le cas échéant, est-ce que P²+Q²-(PQ)² peut être utilisée pour calculer le produit scalaire (il me semble que non car P²+Q²-(PQ)² n'est pas de forme bilinéaire)?
Ben..., pour que ce soit un produit scalaire, il faudrait déjà que ce soit un... scalaire alors que P²+Q²-(PQ)²est un polynôme...

2) Peut-on donner une interprétation graphique deux polygones orthogonaux ou encore à une base vectorielle construire à partir de polynôme orthogonaux ?
(par exemple si on parle de 2 vecteurs orthogonaux, car leur produit scalaire est nul, alors on peut dire que leur représentation géométrique est symbolisée par deux segments perpendiculaires)
Oui, en fait, la notion de produit scalaire sur un E.V. de dim quelconque n'est jamais qu'une généralisation de la notion d'orthogonalité vue au collège.
2.1) Par exemple, chaque axe représenterait un polynôme de la base et les valeurs sur chaque axe correspondraient aux valeurs des coordonnées de ces polynômes dans cette base (qui sont à priori différents des "coefficients" du polynôme). Le problème de cette interprétation, c'est qu'il serait impossible d'avoir des coefficients incluant l'indéterminé (par exemple dans la relation de récurrence il serait impossible de positionner le coefficient sur l'axe symbolisant le polynôme ).
On pourrait parfaitement placer le polynôme anx+bn dans le repère en cherchant ce coordonnées dans la bas. Le problème est plutôt le produit de deux polynômes : on ne sait pas comment se comporte notre base orthonormée pour le produit polynômial...
2.2) Ou encore, chaque polynôme serait représenté par un vecteur dont l'origine serait "l'origine du repère" et le point d'arrivé "les coordonnées des polynômes" (ex: -> (3,0,1)). Le problème de cette interprétation, c'est que les vecteurs construits ainsi ne sont pas orthogonaux deux à deux (dans le cas des polynômes de Legendre, par exemple).

3) Tous polynômes d'une suite orthogonale peuvent s'obtenir par récurrence avec les deux polynômes de degrés inférieurs dans la suite, et par la relation suivante .
Comment fait-on pour trouver les valeurs des coefficients , et ?
Je ne comprend pas : je pense que tu fait référence au procédé d'orthogonalisation de Gramm-Schmidt, mais dans ce cas, il faut connaitre tout les polynômes précédente...

4) La propriété de récurrence des polynômes orthogonaux fait intervenir un facteur dans le coefficient , à partir de là, il me semble de manière intuitive qu'un polynôme pourrait s'exprimer dans une base vectoriel formée à partir de polynôme non orthogonaux.
Si c'est possible alors qu'elle est utilité que les polynômes, qui forment une base, soient orthogonaux?
Je comprend toujours pas trop...

5) Les zéros d'un polynôme orthogonal sont distincts.
Pouvez-vous me donner un exemple d'un polynôme non orthogonal ayant des zéros non distincts?
Fastoche : P(X)=X^2 : X=0 est une racine double (i.e. on peut mettre deux fois (X-0) en facteur )
Par contre, parler "d'un polygone orthogonal" sans préciser à quoi il est orthogonal, ça ne veut rien dire !!!

6) Dans l'intervalle dans lequel les polynômes sont orthogonaux, l'ensemble des zéros des polynômes est dense.
Dans le cadre des polynômes orthogonaux, quel critère permet de dire que l'ensemble des zéros est dense?
A froid, je sais pas (je savais même pas que c'était dense, c'est dire...).
Si j'ai un peu de temps, j'y réfléchi...