Matrice transposée - propriétes

par **MacErmite** » 25 Fév 2010, 18:35

bonjour,

Je ne comprends pas cette propriété :

, avec A une matrice dans R3,

la matrice transposée de A, u et v appartient à R3
J'ai compris qu'il s'agissait d'un produit scalaire...mais je ne comprends pas les opérationss suivantes : (Au).v Quelle différence entre cette écriture Au et A.u, comment calculer le produit scalaire d'une matrice avec un vecteur ?

Bref tout cela est d'un flou...

Pouvez-vous m'aider ?
Merci.

par **Nightmare** » 25 Fév 2010, 18:41

Re salut !

Encore une fois, parlons en terme de transformation linéaire (vu que le terme endomorphisme ne te convient pas :lol3: )

Une matrice, ça représente une transformation linéaire (les colonnes de la matrices sont les coordonnées des images des vecteurs de la base considérée dans cette même base disons).

Au, c'est donc l'image de u par la transformation associée à A, c'est donc un vecteur ! On peut donc faire son produit scalaire par un autre vecteur v.

Maintenant, qu'est-ce que la transposée d'une matrice toujours en terme de transformation?

par **MacErmite** » 25 Fév 2010, 18:47

On écrit les colonnes en ligne et vice-versa. Mais je suppose que tu attends de moi une réponse plus pertinente :mur: :marteau:

par **MacErmite** » 25 Fév 2010, 19:28

Nightmare a écrit:Maintenant, qu'est-ce que la transposée d'une matrice toujours en terme de transformation?

Je suis intéressé par la réponse de cette transformation... :stupid_in

par **Nightmare** » 25 Fév 2010, 20:21

En fait j'aurais dû te poser la question avant mais, as-tu vu la notion d'espace dual?

par **MacErmite** » 25 Fév 2010, 20:37

non, je n'ai pas vue cette notion

par **Nightmare** » 25 Fév 2010, 20:42

Bon alors oublie un peu ma traduction en terme de transformation.

Bon, voyons ça plutôt en terme de coordonnées alors ! Comment calcule-t-on le produit scalaire (usuel) de deux vecteurs lorsqu'on a leur coordonnées?

par **MacErmite** » 25 Fév 2010, 20:44

Si u(u1, u2, u3) et v(v1, v2, v3) alors u.v=u1.v1+u2.v2+u3.v3

par **Nightmare** » 25 Fév 2010, 20:49

Ok, maintenant utilise ce que tu m'as dit sur la transposée avec les lignes et les colonnes. (je détaillerai plus après manger s'il le faut, je te laisse y réfléchir pendant ce temps là).

Si besoin, note (aij) les coefs de ta matrices et effectue formellement les calculs (Au).v et u.(tA v)

par **MacErmite** » 25 Fév 2010, 21:09

Prend ton temps pour manger :we: , car je dois quitter le net :cry: . Bon appétit...à demain

par **MacErmite** » 26 Fév 2010, 08:29

Je crois que j'ai compris la démarche pour calculer cette propriété.

Il est également noté que

, avec A une transformation linéaire dans R3. Cependant j'ai voulu prendre des exemples de matrices dans R3 et je ne trouve pas cette caractéristique. Ai-je encore mal interprété ?

Pour

Cependant j'y vois une certaine symétrie :doh: mais pas de matrice I... :doh:

par **alavacommejetepousse** » 26 Fév 2010, 08:50

bonjour

en toute rigueur une transformation est bijective

par **MacErmite** » 26 Fév 2010, 09:09

ok pour

, mais pour

?

par **Ben314** » 26 Fév 2010, 10:46

Salut,
Je me demande si une information tout "concon" qu'il te manque, ça ne serait pas que, lorsque

et

alors le produit scalaire s'exprime sous la forme :

où, à droite, on a à faire à de "vrai" produits matriciel : ligne par colonne.

Pour ton problème avec

, cette formule n'est absolument pas vraie pour toute matrice A.
L'ensemble des telles matrices s'appelle le "groupe orthogonal", regarde ce que tu as écrit comme formule pour

et vérifie que

dit trés précisément que les trois vecteurs colonne de A forment une base orthonormée de R^3.

par **MacErmite** » 26 Fév 2010, 10:59

En effet si les vecteurs, constituant A, sont orthogonaux entre eux, je constate que les termes sous forme de produit scalaire sont nuls. Si il sont unitaires la diagonale est égale à 1. D'ou le résultat : I

Merci pour ton aide.

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