A propos de compacité

[L.A.]

Bonjour à tous.

La compacité d'un espace topologique (E,O) est définie par la propriété de Borel-Lebesgue (de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous recouvrement fini)

et on montre que dans un espace métrique (E,d) cette propriété est équivalente à celle de Bolzanno-Weierstrass (toute suite admet une valeur d'adhérence) ; et la démonstration utilise sans cesse la métrique (nombre de Lebesgue et précompacité)

mais je crois ne pas me tromper en disant qu'on peut sans problème définir la valeur d'adhérence d'une suite dans un espace topologique

Bref, voici enfin ma question : B-L <=> B-W est il encore vrai dans un espace topologique quelconque ? Sinon y'a-t-il des contre-exemples (simples sous-entendu)?

[ThSQ]

Non ça n'est pas équivalent, tu peux regarder l'autre thread consacré à la compacité (qui est à la mode en ce moment );

Un exemple pas trop bidouillé (on peut en construire des ad-hoc, artificiels à souhait) d'espace compact mais pas séquentiellement compact est (topologie produit, = topo de la conv simple). E est compact par Tychonov mais pas seq. compact :

par exemple :

f_n(x) = n_ième "décimale binaire" de x

f_n n'admet pas de sous-suite convergente.


Des exemples d'espaces seq compact et pas compact ça existe mais je n'ai vu que des contrex assez horribles (avec des ordinaux et des trucs du genre)

[L.A.]

OK.

Et du coup on ne peut pas montrer B-L <=> B-W "avec des arguments seulement topologiques" : on est obligé de recourir à un moment où un autre à la métrique.

Y a-t-il une preuve qui ne fasse pas appel à la métrique proprement dite, mais seulement à une propriété topologique des e.m. (vérifiée par des e.t. pas forcément métrisables, et pour lesquels on aurait B-L <=> B-W) ?

PS : désolé pour la redite, je n'ai même pas remarqué qu'il y avait déjà une autre discussion sur le sujet.

[ThSQ]

Je ne sais pas, en topologie (mon dada ;)) la notion de compacité séquentielle est anecdotique (liée à l'historique métrique) en fait.

[L.A.]

C'est vrai que la question est assez ouverte.

Merci quand même.

[Arkhnor]

Salut.

Des exemples d'espaces seq compact et pas compact ça existe mais je n'ai vu que des contrex assez horribles (avec des ordinaux et des trucs du genre)

Sauf erreur, l'ensemble des fonctions f de qui vérifient la propriété "il existe une partie dénombrable telle que pour tout " est séquentiellement compact, mais n'est pas compact.
Ca me parait raisonnable comme contre-exemple.

[L.A.]

Merci pour vos contre exemples.

Malheureusement je n'ai vu que les bases de la topologie, et juste entendu parler à vrai dire de la "topologie de la convergence simple" (comme ex de topologie non métrisable). Je garde vos contre-exemples en tête en attendant le cours qui va suivre.

[ffpower]

Salut.



Sauf erreur, l'ensemble des fonctions f de qui vérifient la propriété "il existe une partie dénombrable telle que pour tout " est séquentiellement compact, mais n'est pas compact.
Ca me parait raisonnable comme contre-exemple.

Joli contre exemple