Compacité et coercivité

[arnaud32]

Comme f(x0)=Tu peux trouver k tel que Sf(x0) C B(x0,k) C B(x0,k+1)
Pour y tel que ||y-x0||>k+1 tu peux trouver u dans l adherence de B(x0,k+1)\B(x0,k) Et vérifiant u-x0=c(y-x0) avec c>0
B(x0,k+1)\B(x0,k) est compact f y réalisé donc son inf m qui est > f(x0)

Comme f est convexe ( f(u)-f(x0) )/||u-x0|| < ( f(y)-f(x0) )/||y-x0||
Tu as donc ||y-x0||<( f(y)-f(x0) )/( f(u)-f(x0) )||u-x0||<( f(y)-f(x0) )/( m-f(x0) )(k+1)

[GagaMaths]

ouh la...
alors je ne comprends plus à partir de cette phrase :
"Pour y tel que ||y-x0||>k+1 tu peux trouver u dans l adherence de B(x0,k+1)\B(x0,k) Et vérifiant u-x0=c(y-x0) avec c>0"

pourquoi cela ?

[arnaud32]

Prends u=x0+(k+1/2)(y-x0)

[GagaMaths]

d'accord...
par contre je ne comprends pas aussi le "f y réalisé", surement un pb de français ;)

sinon après je ne vois pas bien ce que ça démontre.. !

[arnaud32]

B(x0,k+1)\B(x0,k) est compact et f continue
f est donc bornee et atteint ses bornes sur le compact
Tu notes m l'inf de f sur ce compact
Tu as en outre m > f(x0)

[arnaud32]

||y-x0||<( f(y)-f(x0) )/( f(u)-f(x0) )||u-x0||<( f(y)-f(x0) )/( m-f(x0) )(k+1)
Tu notes alors que ||y-x0||<( f(y)-f(x0) )/( m-f(x0) )(k+1) te permet d'affirmer que pour tout a>f(x0)
f(y)=Tu as donc Sa qui est borné ...

[GagaMaths]

ce n'est pas grave si on a une majoration ||y-x0|| et pas || y|| ?

[arnaud32]

||y||=||y-x0 +x0||<||y-x0||+||x0||