Questions sur la compacité

[ffpower]

et bien un compact est toujours fermé,peu importe l espace dans lequel on le plonge(s il est métrique,ton argument précédent marche..)
Sinon un compact est ouvert dans lui meme,m enfin bon^^

[Arkhnor]

Bonjour.
D'après la définition, une partie compacte peut être vide, et par conséquent ouverte.

[ThSQ]

Si ce n'est pas le cas auriez vous des exemples d'ouverts compacts ?

Tout point "isolé" (B(x0,r) = {x0}, r > 0), ou toute réunion finie de tels points, d'un espace métrique (avec le topo discrète c'est le cas de tout point) est ouvert, fermé, compact, ....

[seriousme]

Merci de vos réponses.

Tout point "isolé" (B(x0,r) = {x0}, r > 0), ou toute réunion finie de tels points, d'un espace métrique (avec le topo discrète c'est le cas de tout point) est ouvert, fermé, compact, ....

Mais les points isolés de muni de la topologie usuelle ne sont pas plutôt fermés, leurs complémentaires étant des ouverts ?

D'après la définition, une partie compacte peut être vide, et par conséquent ouverte.

Dans ce cas pour que soit compact il faut déjà que l'espace topologique contienne au moins une partie compact non vide ?

et bien un compact est toujours fermé

Est-ce la seule chose qui peut être affirmée, qu'un compact est au moins fermé ?

Merci.

[ThSQ]

Mais les points isolés de muni de la topologie usuelle ne sont pas plutôt fermés, leurs complémentaires étant des ouverts ?

Les points (isolé ou non) sont presque toujours fermés (dès que la topologie est un minimum séparée). Ils peuvent aussi être ouverts.

Muni de la topologie usuelle, il pas de point isolés dans IR.

Dans ce cas pour que soit compact il faut déjà que l'espace topologique contienne au moins une partie compact non vide ?

est toujours compact (intérêt limité ...).

Est-ce la seule chose qui peut être affirmée, qu'un compact est au moins fermé ?

En toute généralité, oui.