Compacité et coercivité

par **GagaMaths** » 02 Nov 2011, 19:07

Bonsoir !

Cette fois je fais d'autres exercices sur les fonctions, et en voilà un qui me pose problème...
Voici l'énoncé :
Soit f : Rn -> R. On dit que f est inf-compact si pour tout a R, Sa := { x Rn ; f(x) <= a } est compact.
1) On suppose f continue. Montrer que f est coercive <=> f est inf-compact.
2) On suppose f convexe. Montrer que f est inf-compact <=> Il existe a0 tel que Sa0 est compact non vide.

Alors :

1) (pb : je n'utilise pas la continuité de f)
(=>)
Je suppose f coercive.
Ainsi j'ai lim f(x) = +oo lorsque ||x|| tend vers +oo.
Donc pour tout a >0, il existe R >0 tel que ||x||> R => f(x) > a.

Soit a >0.
Alorsi l existe R>0 tel que pour ||x||>R on a : f(x) > a.
Ainsi, si on a ||x|| <= R, alors f(x) <= a.
Sa := { x Rn ; f(x) <= a } est donc fermé et borné, car contenu dans la boule rayon R.
Donc Sa est compact.
Le problème ici : j'ai le a qui est positif, alors que dans l'énoncé il est dans R...

(<=)
Je suppose que f est inf-compact.
Alors pour tout a > 0 (en particulier), Sa est compact donc il existe R > a tel que Sa est inclus dans la boule de rayon R.
Mais alors si ||x|| > r alors f(x) > a pour tout a > 0.
Mais là j'embrouille un peu, car il faut faire tendre ||x||vers +oo...

2) Je ne sais pas!

par **GagaMaths** » 02 Nov 2011, 20:02

Une petite aide svp ?

par **arnaud32** » 02 Nov 2011, 20:14

Dans le 1 pour dire que Sa et ferme tu utilises le fait que f est continue

De plus rien ne te dit que ||x||Ce que tu as c'est f(x)Ce qui te dit bien que Sa est borne

Pour les à négatifs la fermeture reste acquise et la ornitude se déduit de leur incluision dans S0

Dans le sens réciproque si f est bornée que peux tu dire de Sa pour a grand. Est ce que Rn est compact?

par **GagaMaths** » 02 Nov 2011, 20:20

Merci, dans ce cas j'aurai :

1) (pb : je n'utilise pas la continuité de f)
(=>)
Je suppose f coercive.
Donc pour tout a >0, il existe R >0 tel que ||x||> R => f(x) > a.

Soit a >0.
Alorsi l existe R>0 tel que pour ||x||>R on a : f(x) > a.
Ainsi, si f(x) <= a alors ||x|| <=R .
Donc Sa est borné car contenu dans la boule de rayon R.

Sa est fermé car image réciproque d'un fermé par une fonction continue.

Si a est négatif , Sa reste un ensemble fermé.
Par ailleurs S0 = { x Rn tel que f(x) <= 0 }. Ainsi, si a<0, on a Sa c SO.
d'où Sa est un compact.

et cette implication :??
(<=)
Je suppose que f est inf-compact.
Alors pour tout a > 0 (en particulier), Sa est compact donc il existe R > 0 (oui 0 faute de frappe) tel que Sa est inclus dans la boule de rayon R.
Mais alors si ||x|| > r alors f(x) > a pour tout a > 0.
Mais là j'embrouille un peu, car il faut faire tendre ||x||vers +oo...

par **arnaud32** » 03 Nov 2011, 10:17

2/ => i faut justte prouver que les Sa ne sont pas tous vides
on note a0 = f(0) + 1
f(0) < a0 donc 0 est dans Sa0 qui est compact par hyp

par **GagaMaths** » 03 Nov 2011, 18:43

arnaud32 a écrit:2/ => i faut justte prouver que les Sa ne sont pas tous vides
on note a0 = f(0) + 1
f(0) < a0 donc 0 est dans Sa0 qui est compact par hyp

Merci arnaud ! mais je n'ai pas compris f(0) < a0 .... ?

par **arnaud32** » 03 Nov 2011, 22:09

Par def de a0 l'inégalité est vérifiée

par **GagaMaths** » 04 Nov 2011, 19:34

a0 = f(0) + 1
mais on ne sait rien sur f? ni sur f(0)?

par **arnaud32** » 04 Nov 2011, 19:52

f est définie de Rn dans R donc tout x de Rn à une image par f dans R
Pour le cas particulier x=0 j'ai f(x)=f(0)Je pose a0=f(0)+1
Donc f(x)Ce qui implique que le point x=0 est dans Sa0 qui est donc non vide

par **GagaMaths** » 04 Nov 2011, 20:40

ah oui excuse moi c'etait tout bete, je pensais que ça dépendait du signe de f(0) mais non puisque
0 < 1^^

ok donc j'ai compris ce sens là, par contre pour l'autre sens ?
il faut à mon avis utilsier le fait que f est convexe ?

par **arnaud32** » 04 Nov 2011, 20:42

Premier point f convexe implique f continue en dim finie

par **GagaMaths** » 04 Nov 2011, 20:48

ok donc je suppose f convexe.
donc f est continue car on travaille en dimension finie.
Par ailleurs :
il existe a0 tel que Sa0 est compact non vide.
Montrons que f est inf-compacte.

Il existe a0 tel que :
Sa0 = { x R^n tel que f(x) <= a0 }
Donc il existe x0 Sa0 tel que f(x0) <= a0.

après je ne vois pas comment continuer...

par **GagaMaths** » 04 Nov 2011, 20:56

sinon j'ai quand meme un petit probleme pour l'autre question, ton f(0) me dérange....
puisque pourquoi on ne pourrait pas avoir un infini en 0 ? ou bien la focntion non définie en 0 ?
puisque que par ex; si f(x) = 1/||x|| , on va dire que f : R^n -> R sans préciser ..

par **arnaud32** » 04 Nov 2011, 21:22

Ton espace d'arrivé est R qui ne contient pas d'infini

par **arnaud32** » 04 Nov 2011, 21:23

Déjà que dire de Sa pour a

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