Définition de la compacité relativement au recouvrement

par **BQss** » 08 Déc 2007, 15:07

Salut à tous je vais juste copier coller le mail que j'ai envoyé à un ancien prof pour vous demandez votre avis a vous, qui j'en suis sur sera avisé, car les profs sont particulièrement occupés et je suis pas sur d'avoir une réponse tout de suite...

le cours ici:
http://www.institut.math.jussieu.fr/~raymond/preprints/M360.pdf

Bonjour Monsieur,

Je suis élève en M2 de probabilité à Paris 6 et fut jadis un étudiant de votre cours de topologie de licence de mathématique. Pour le plaisir, je revois dans mes temps libre des cours que je nai a lépoque je pense pas assez approfondi, notamment le votre, qui est particulièrement dense.
Cest ainsi que jai cru remarquer chapitre 3 sur les espaces compacts, définition 3.1.1 une définition du recouvrement incompatible avec la définition 3.1.2 de la compacité.
Dans la définition 3.1.1 ne faudrait-il pas définir le recouvrement dun ensemble E, non pas comme « une famille tel que E soit la réunion de cette famille » , mais plutôt tel que E soit contenu dans la réunion de cette famille, ce qui est moins restrictif.
Cest en résonnant sur la démonstration 3.4.1 montrant que lintervalle [0;1] de R était compact que jai perçu cela.
En effet prenons par exemple la famille de partie An=]-1/n,1+1/n[, ( n>0 ) recouvrant [0,1] (valable selon lune ou lautre des définition du recouvrement) , alors il nexiste aucune sous partie I finie de N tel que [0,1] soit la réunion des ]-1/n,1+1/n[ sur I, par contre on a par exemple :
A1=]-1 ;2[ qui contient [0,1] et on a donc bien un sous recouvrement fini qui assure la compacité(sous etendu ne l'exclu pas) selon la deuxième définition du sous recouvrement.

Dans la définition 3.4.1 ce détail de définition sur le recouvrement me semble-t-il intervient lorsque lon dit :
« Puisquil existe un k appartient à I tel que 0 appartienne à Uk, il existe r > 0 tel que [0, r] soit inclus dans Uk, et A nest pas vide et contient [0, r] ».
Ce qui en prenant la première définition du recouvrement ne marche pas semble-t-il, car même si [0,r] est alors inclus dans Uk, [0,r] nest alors pas égal a Uk, selon la première version du recouvrement.

Voila monsieur, il est possible que je me trompe et cest pourquoi je vous sollicite pour savoir exactement de ce quil en est, javoue avoir longtemps bloqué sur ce détail qui me gênait dans la compréhension de la compacité au travers de la définition 3.1.2.

Bien cordialement

par **busard_des_roseaux** » 08 Déc 2007, 15:38

BQss a écrit:http://www.institut.math.jussieu.fr/~raymond/preprints/M360.pdf

bonjour,
es tu sûr d'appliquer l'une ou l'autre des définitions pour tout recouvrement ouvert ?

en tous cas, merçi pour le lien.

cordialement,

par **legeniedesalpages** » 08 Déc 2007, 15:38

Salut pour ma part j'ai rencontré les deux définitions, et c'est vrai que ça me posait problème, mais en fait ça change pas grand chose au niveau des résultats.

les An=]-1/n,1+1/n[, ne sont pas un recouvrement de [0,1] (au sens de la définition de ton prof), leur union fait ]-1,2[ et non [0,1]. Par contre les traces des An sur [0,1] forment un recouvrement ouvert de [0,1] muni de la topologie induite, et la trace de chaque An sur [0,1] est [0,1], donc il est clair que n'importe quelle sous-famille finie sera un recouvrement de [0,1].

par **BQss** » 08 Déc 2007, 15:59

legeniedesalpages a écrit:Salut pour ma part j'ai rencontré les deux définitions, et c'est vrai que ça me posait problème, mais en fait ça change pas grand chose au niveau des résultats.

les An=]-1/n,1+1/n[, ne sont pas un recouvrement de [0,1] (au sens de la définition de ton prof), leur union fait ]-1,2[ et non [0,1].

Oula j'ai pris la réunion au lieu de l'intersection :happy: c'est l'intersection qui vaut [0,1] en effet :doh: . Je vais revoir ca a partir d'un exemple correct lol!

Je vais ecrire un deuxieme mail au prof...

par **BQss** » 08 Déc 2007, 16:06

busard_des_roseaux a écrit:bonjour,
es tu sûr d'appliquer l'une ou l'autre des définitions pour tout recouvrement ouvert ?

en tous cas, merçi pour le lien.

cordialement,

Oui en fait je "montrais" juste un contre exemple, donc je n'avais pas besoin de tous.
Mais comme le geniedesalspages l'a fait remarquer, par contre, j'ai construit mon fermé borné (le compact [0,1] en l'occurence) par intersection par reflexe et non par réunion, ce qui est moins naturel (et pourtant ce dont on a besoin pour définir le compact) et je n'y ai plus pensé en suite :briques: .

par **BQss** » 08 Déc 2007, 16:14

Pour construire [0;1] comme réunion d'ouvert et pas comme une intersection:
U]1/n;1-1/n[ ne marche pas par contre, le seul moyen de construire ce fermé par réunion d'ouvert est alors me semble-t-il d'ecrire une réunion du type:
U]1/n;1-1/n[U{-1,1} mais alors il faut considérer {-1,1} comme un ouvert de [0,1] et non plus un ouvert de R, qu'il n'est pas... La topo c'est loin pour moi donc je demande confirmation .

par **legeniedesalpages** » 08 Déc 2007, 16:19

si on veut montrer que l'espace [0,1] est compact, c'est qu'on le considère comme un espace et non comme un sous-ensemble de l'espace R.
Donc on travaille avec les ouverts de [0,1], et non avec les ouverts de R.

par **BQss** » 08 Déc 2007, 16:24

legeniedesalpages a écrit:si on veut montrer que l'espace [0,1] est compact, c'est qu'on le considère comme un espace et non comme un sous-ensemble de l'espace R.
Donc on travaille avec les ouverts de [0,1], et non avec les ouverts de R.

bingo ok, en effet ca me revient ... Dans la définition "tous recouvrement ouvert" en effet, il s'agit implicitement de toute réunion d'ouverts du sous espace étudié et non de tous recouvrement d'ouverts de l'espace, la définition prete a confusion, je me souviens maintenant merci.

Pour un complet c'est plus intuitif et on l'applique sans ambiguité("toute suite de cauchy est convergente" sous entend "dans l'espace", ce qui est moins le cas pour ouvert au premier abord).

PS: c'est triste comme on oublie vite.

par **legeniedesalpages** » 08 Déc 2007, 16:29

oui j'avoue, j'ai eu le même genre de problème en arithmétique modulaire, il y a pas longtemps. C'est frustrant.

par **BQss** » 08 Déc 2007, 16:35

D'ailleurs outre le fait que c'est l'intersection de mes An qui valait [0;1], cette suite n'est pas une suite d'ouverts de [0;1], donc n'était même pas a considérer...

par **abcd22** » 08 Déc 2007, 17:56

legeniedesalpages a écrit:Donc on travaille avec les ouverts de [0,1], et non avec les ouverts de R.

Mais comme [0,1] est muni de la topologie induite de R c'est pareil de le recouvrir par des ouverts de R ou d'oublier qu'il vient d'un espace plus grand et recouvrir par des ouverts de [0,1]. Dans la pratique quand on veut montrer qu'un sous-espace Y (muni de la topologie induite) d'un espace topologique X est compact on le recouvre plutôt par des ouverts de X (dont les traces sur Y sont des ouverts de Y).

par **BQss** » 08 Déc 2007, 18:38

euh d'ailleurs:
quel est le sous recouvrement fini de [0,1] que l'on peut extraire du recouvrement suivant ici, (je n'en vois pas donc quelquechose m'échappe):

par **BQss** » 08 Déc 2007, 18:45

legeniedesalpages a écrit:Par contre les traces des An sur [0,1] forment un recouvrement ouvert de [0,1] muni de la topologie induite, et la trace de chaque An sur [0,1] est [0,1], donc il est clair que n'importe quelle sous-famille finie sera un recouvrement de [0,1].

Salut abcd22 oui tout a fait legeniedesalpages l'avait d'aileurs fait remarquer, puisque les ouverts du sous ensemble E de X sont les traces sur E des ouverts de X, l'intersection des deux ouverts étant un ouvert contenu dans E la construction est naturelle...

En ce qui concerne le nouvel exemple que j'évoque ou est c'que ca cloche cette fois, tu vois?

par **abcd22** » 08 Déc 2007, 18:48

Je suppose qu'il faut comprendre {0,1} au lieu de {-1,1} sinon il n'y a pas 0, mais les ensembles ne sont des ouverts ni de [0,1], ni de R.

par **BQss** » 08 Déc 2007, 18:53

abcd22 a écrit:Je suppose qu'il faut comprendre {0,1} au lieu de {-1,1} sinon il n'y a pas 0, mais les ensembles ne sont des ouverts ni de [0,1], ni de R.

Oui {0,1} pardon, et oui en effet ce ne sont pas des ouverts, merci, je n'ai que regardé du coté de ce qui n'était pas dans [0,1] et oublié qu'il y avait de l'autre coté(à l'intérieur) des points qu'on n'excluait pas (en prenant la boule ouverte), les singletons sont ouverts d'un coté et fermé de l'autre en sorte...

Bon je suis devenu une quiche :marteau: .
Je vais me remettre un peu a la topo parce que meme si ca me sert plus a rien dans ce que j'apprends et applique( et c'est vrai) je trouve ca trop ridicule de faire des remarques indigne d'un licence sur le sujet :briques: ...

par **BQss** » 08 Déc 2007, 18:59

PS: mon prof a très gentiment répondu et pourtant il doit être bien occupé et pas avoir beaucoup de temps pour répondre a de telles anneries...

par **bruce.ml** » 08 Déc 2007, 19:24

Ne s'agirait-il pas de M. Saint-Raymond par hasard ? :P je l'ai aussi eu en topo :)

par **BQss** » 08 Déc 2007, 19:35

bruce.ml a écrit:Ne s'agirait-il pas de M. Saint-Raymond par hasard ? je l'ai aussi eu en topo

Oui c'est lui, t'étais a p6 (j'ai passé la licence par correspondance a p6 moi) ?

par **bruce.ml** » 08 Déc 2007, 19:38

vui ( faut que t'éffaces tes messages privés usagés on peut plus t'en envoyer :p )

par **BQss** » 08 Déc 2007, 19:39

ok j'le fais :zen:

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