Pronlème de polynôme

[Anonyme]

Voilà:
soit P un polynôme de degré n, ayant n racines distinctes.
soit P' un polynôme de degré n-1, ayant n-1 racines distinctes.
Montrer que P+P' admet n racines distinctes .
Aidez svp je galère.

[Anonyme]

Salut,

C'est bizarre ton truc :
P1 = X² - X admet 2 racines distinctes
P2 = X admet 1 racine (distincte ;))

Mais P1+P2 = X² n'admet pas 2 racines distinctes.

Ou alors P' = dérivée de P ?

[Anonyme]

P'=dérivé de P pardon javai oublié de le préciser

[Chimerade]

Voilà:
soit P un polynôme de degré n, ayant n racines distinctes.
soit P' un polynôme de degré n-1, ayant n-1 racines distinctes.
Montrer que P+P' admet n racines distinctes .
Aidez svp je galère.

Je suppose que P un polynôme de degré n, ayant n racines réelles distinctes ! Pour des racines complexes, je n'ai pas encore trouvé...

Soient les n racines de P rangées en ordre croissant.

Soient les n racines de P' rangées en ordre croissant.

On sait que les racines de la dérivée se situent entre deux racines de la fonction :

[TEX]\Large x_0 aux (n-2) premières, soit un total de n racines distinctes pour P+P'.

Il me semble raisonnable de penser que l'on aura la même conclusion s'il s'agit de racines complexes, mais là, je ne sais pas le démontrer (pour l'instant)...En tout état de cause, il faudrait trouver autre chose car on ne peut ranger des racines complexe en ordre...

[yos]

soit P un polynôme de degré n, ayant n racines distinctes.
soit P' un polynôme de degré n-1, ayant n-1 racines distinctes.
Montrer que P+P' admet n racines distinctes .

Je fais remonter ce vieux fil pour vous demander ce que vous en pensez.
P' est le polynôme dérivé bien sûr.

- Si c'est dans R, c'est clair avec , et on peut même remplacer P+P' par P+kP'. De plus l'hypothèse sur la dérivée sert à rien. Donc ça doit pas être dans R.
- Si c'est dans C, je vois pas trop.
- Peut-être est-ce dans un corps K quelconque?

[ThSQ]

Dans C c'est faux :

P(X) = X²+1
P+P' =(X+1)² a une racine double


Dans IR il suffit de voir que P et P' s'annulent et/ou changent de signe de concert.

[yos]

OK pour le contre-exemple.
Bizarre cet exo car dans R, Rolle rend inutile la seconde hypothèse, alors que dans C ou même Q, elle pourrait être essentielle.

[ThSQ]

C'est faux aussi dans Z/3Z et dans Q : x*(x+2)

Bref ça doit être vrai que dans IR