Polynomes Bases

par **Koala1** » 14 Jan 2013, 18:39

Bonjour,

Pouvez vous m'aider sur cet exercice :

En désigne l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée à coefficients rééls et de degré inférieur ou égal à n, pour tout n dans N.
En={P dans R[X] ; deg(P) inférieur ou égal à n }

B désigne la base canonique de En : B=(ek) pour k compris largement entre 0 et n où ek=X^k

Pour tout polynôme P de En, On note DP le polynôme définie par :
Pour tout x dans R, DP(X) = P(X+1)-P(X)

1) Soit (e'k) la famille de polynômes définie par :

e'0 = 1
e'k=X(X-1)...(X-k+1) pour k compris entre 1 et n.

Montrer que cette famille est une base de En. On note B' cette base.

2)Soit P(X) = -7x^4 + 3x² - x +2
Déterminer DP(X).

3) Montrer que D : P-> DP est une application linéaire.

4) Soit P un polynôme de degré k>0, montrer que DP est de degré k-1.

5)a) Montrer que pour qu'un polynôme P appartienne à Ker D, il faut et il suffit que P soit constant.

5)b) Soit R le polynôme définie par R(X) = 14x^3+21x²+11x+5/2.
Déterminer un polynome Q tel que DQ=R et Q(0) = -7

5)c) Montrer Q est l'unique polynôme ayant ces propriétés.

6) Déterminer Im D

7) Exprimer le polynôme De'k dans la base B' pour k compris entre 0 et n.
En déduire la matrice M de D dans la base B'.

8) Si n=4 :
Exprimer le polynome X^3 dans la base B'.
Déterminer par leurs coordonées dans la base B', les polynomes Q tels que DQ= X^3.

Ce que j'ai fait :

J'ai réussi la 2), la 3) et la 5)b) pour le reste je bloque.

Merci de m'aider

par **XENSECP** » 14 Jan 2013, 21:57

Donc il faut t'aider sur la 1 et la 4 ?
La 4, tu as essayé de développer?

par **Koala1** » 14 Jan 2013, 22:09

XENSECP a écrit:Donc il faut t'aider sur la 1 et la 4 ?
La 4, tu as essayé de développer?

J'aimerai commencer par le départ c'est a dire la 1 ^^
Pouvez vous me donner des indications svp merci =)

par **raph107** » 15 Jan 2013, 12:11

Koala1 a écrit:Bonjour,

Pouvez vous m'aider sur cet exercice :

En désigne l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée à coefficients rééls et de degré inférieur ou égal à n, pour tout n dans N.
En={P dans R[X] ; deg(P) inférieur ou égal à n }

B désigne la base canonique de En : B=(ek) pour k compris largement entre 0 et n où ek=X^k

Pour tout polynôme P de En, On note DP le polynôme définie par :
Pour tout x dans R, DP(X) = P(X+1)-P(X)

1) Soit (e'k) la famille de polynômes définie par :

e'0 = 1
e'k=X(X-1)...(X-k+1) pour k compris entre 1 et n.

Montrer que cette famille est une base de En. On note B' cette base.

2)Soit P(X) = -7x^4 + 3x² - x +2
Déterminer DP(X).

3) Montrer que D : P-> DP est une application linéaire.

4) Soit P un polynôme de degré k>0, montrer que DP est de degré k-1.

5)a) Montrer que pour qu'un polynôme P appartienne à Ker D, il faut et il suffit que P soit constant.

5)b) Soit R le polynôme définie par R(X) = 14x^3+21x²+11x+5/2.
Déterminer un polynome Q tel que DQ=R et Q(0) = -7

5)c) Montrer Q est l'unique polynôme ayant ces propriétés.

6) Déterminer Im D

7) Exprimer le polynôme De'k dans la base B' pour k compris entre 0 et n.
En déduire la matrice M de D dans la base B'.

8) Si n=4 :
Exprimer le polynome X^3 dans la base B'.
Déterminer par leurs coordonées dans la base B', les polynomes Q tels que DQ= X^3.

Ce que j'ai fait :

J'ai réussi la 2), la 3) et la 5)b) pour le reste je bloque.

Merci de m'aider

Indications pour la 1ère question:

dim(En) = n+1 et la famille (e'k) comprte (n+1) éléments donc il suffit de montrer que cette famille est libre. Chacun des éléments de (e'k) est de degré k. Une combinaison linéaire des e'k est un polynome de degré n si le coefficient a_n de e'n n'est pas nul, donc une combinaison linéaire nulle entraine a_n = 0, ....

par **Koala1** » 15 Jan 2013, 12:54

raph107 a écrit:Indications pour la 1ère question:

dim(En) = n+1 et la famille (e'k) comprte (n+1) éléments donc il suffit de montrer que cette famille est libre. Chacun des éléments de (e'k) est de degré k. Une combinaison linéaire des e'k est un polynome de degré n si le coefficient a_n de e'n n'est pas nul, donc une combinaison linéaire nulle entraine a_n = 0, ....

En fait je voulu faire il existe a1, ..., an tel que a1 + a2X + a3X(X-1) + ... = 0 implique a1=a2=..=0
Mais je n'y arrive pas.

par **chan79** » 15 Jan 2013, 13:04

Koala1 a écrit:En fait je voulu faire il existe a1, ..., an tel que a1 + a2X + a3X(X-1) + ... = 0 implique a1=a2=..=0
Mais je n'y arrive pas.

en remplaçant x par 0, tu as a1=0
en remplaçant x par 1, tu as a2=0
....

par **Koala1** » 15 Jan 2013, 13:16

chan79 a écrit:en remplaçant x par 0, tu as a1=0
en remplaçant x par 1, tu as a2=0
....

D'accord, merci beaucoup

Pour la 4 :

J'aimerai faire une bonne rédaction

Soit DP : P(X+1) - P(X) avec p de degré k

Posons P(X) = somme de k=0 à n de ai Xî d'ou P(X+) = somme de k= à n de ai ( X+)î

Je vois bien que le terme de plus haut degré va s'annuler mais comment puis je le montrer de facon clair et précis ?

par **chan79** » 15 Jan 2013, 14:10

Koala1 a écrit:D'accord, merci beaucoup

Pour la 4 :

J'aimerai faire une bonne rédaction

Soit DP : P(X+1) - P(X) avec p de degré k

Posons P(X) = somme de k=0 à n de ai Xî d'ou P(X+) = somme de k= à n de ai ( X+)î

Je vois bien que le terme de plus haut degré va s'annuler mais comment puis je le montrer de facon clair et précis ?

tu peux décomposer P dans la base B'

par **Koala1** » 15 Jan 2013, 14:36

chan79 a écrit:tu peux décomposer P dans la base B'

Euh je suis désolé mais je ne sais pas faire. Je n'arrive jamais à ecrire les polynomes dans les bases. Auriez vous la possibilité de m'expliquer comment cela marche si cela ne vous dérange pas ?

Merci

par **chan79** » 15 Jan 2013, 15:49

Koala1 a écrit:Euh je suis désolé mais je ne sais pas faire. Je n'arrive jamais à ecrire les polynomes dans les bases. Auriez vous la possibilité de m'expliquer comment cela marche si cela ne vous dérange pas ?

Merci

pour le 2
Par identification
P(x)=2-5x-46x(x-1)-42x(x-1)(x-2)-7x(x-1)(x-3)
On arrive à DP(x)=-5-92x-126x(x-1)-28x(x-1)(x-2)
on remarque
-5=-5*1
-92=-46*2
-126=-42*3
-28=-7*4

par **Koala1** » 15 Jan 2013, 18:36

D'accord , merci pour cet exemple, je vais essayer de généraliser maintenant au cas que j'ai.

je passe donc à la 6) Im D = { D(P) tel que P est dans R[X]}

Im D serait donc R[X] dont les polynomes sont de degré k-1.

Comment puis je le montrer ?

par **raph107** » 15 Jan 2013, 18:58

Koala1 a écrit:D'accord , merci pour cet exemple, je vais essayer de généraliser maintenant au cas que j'ai.

je passe donc à la 6) Im D = { D(P) tel que P est dans R[X]}

Im D serait donc R[X] dont les polynomes sont de degré k-1.

Comment puis je le montrer ?

Im D = { D(P) tel que P est dans En}
Tu calcules les images de la nouvelle base par l'application D, et tu trouveras:
D(e'0) = 0; D(e'1) = 1; D(e'2) = e'1; ...; D(e'k) = e'_(k-1); ...; D(én) = e'_(n-1) puis tu conclus

par **Koala1** » 15 Jan 2013, 19:21

raph107 a écrit:Im D = { D(P) tel que P est dans En}
Tu calcules les images de la nouvelle base par l'application D, et tu trouveras:
D(e'0) = 0; D(e'1) = 1; D(e'2) = e'1; ...; D(e'k) = e'_(k-1); ...; D(én) = e'_(n-1) puis tu conclus

La nouvelle base est e'k

Donc Im(D) = Les polynomes de degré k-1

7)De'k = e'k(X+1)-e'(X) cela me parait assez louche

par **raph107** » 15 Jan 2013, 19:42

Koala1 a écrit:La nouvelle base est e'k

Donc Im(D) = Les polynomes de degré k-1

7)De'k = e'k(X+1)-e'(X) cela me parait assez louche

Qu'est ce qu'il y a de louche?

Il faut pas confondre k et n: Im(D) = L'ensemble des polynomes de degré n-1

Je n'avais pas lu la 7 ème question dont une solution est la solution que je t'avais proposée pour la 6. Apparemment il faut la traiter autrement pour être conforme à l'esprit de l'exercice.

par **Koala1** » 15 Jan 2013, 19:47

raph107 a écrit:Qu'est ce qu'il y a de louche?

Il faut pas confondre k et n: Im(D) = L'ensemble des polynomes de degré n-1

Je n'avais pas lu la 7 ème question dont une solution est la solution que je t'avais proposée pour la 6. Apparemment il faut la traiter autrement pour être conforme à l'esprit de l'exercice.

D'accord, merci beaucoup :

Pour la matrice D :

on a une matrice n * n

0 1 0 0 0 ... 0
0 0 2 0 0 ... 0
0 0 0 3 0 ... 0
....................
0 0 0 0 ...... n
00000000000000

Est ce bon ?

par **raph107** » 15 Jan 2013, 19:56

Koala1 a écrit:D'accord, merci beaucoup :

Pour la matrice D :

on a une matrice n * n

0 1 0 0 0 ... 0
0 0 2 0 0 ... 0
0 0 0 3 0 ... 0
....................
0 0 0 0 ...... n
00000000000000

Est ce bon ?

Non, si mes calculs sont bons ce sera plutôt:
0 1 0 0 0 ... 0
0 0 1 0 0 ...0
0 0 0 1 0 ...0
...................
0 0 0 0 ...... 1
0 0 0 0....... 0

par **Koala1** » 15 Jan 2013, 20:04

raph107 a écrit:Non, si mes calculs sont bons ce sera plutôt:
0 1 0 0 0 ... 0
0 0 1 0 0 ...0
0 0 0 1 0 ...0
...................
0 0 0 0 ...... 1
0 0 0 0....... 0

Ah oui vous avez entierement raison même, j'ai tout repris et je trouve pareil.

Dernière Question si n=4, on a la base B' qui devient : ( 1 , X, X(X-1), X(X-1)(X-2))
On veut exprimer P(X) = X^3 dans cette base.

P(1) = 1
P(X) = X^3
P(X(X-1))= X^3(X-1)^3
P(X(X-1)(X-2))= X^3(X-1)^3(X-2)^3

Mais je ne me souviens plus comment on met dans la matrice

par **chan79** » 15 Jan 2013, 20:17

Koala1 a écrit:Ah oui vous avez entierement raison même, j'ai tout repris et je trouve pareil.

Dernière Question si n=4, on a la base B' qui devient : ( 1 , X, X(X-1), X(X-1)(X-2))
On veut exprimer P(X) = X^3 dans cette base.

P(1) = 1
P(X) = X^3
P(X(X-1))= X^3(X-1)^3
P(X(X-1)(X-2))= X^3(X-1)^3(X-2)^3

Mais je ne me souviens plus comment on met dans la matrice

on obtient a, b et c en donnant à x les valeurs 0, 1 et 2

par **Koala1** » 15 Jan 2013, 20:24

chan79 a écrit:
on obtient a, b et c en donnant à x les valeurs 0, 1 et 2

Il manque pas un d dans ce que vous m'écriver non ? ( devant x(x-1)(x-2) ??? )

Une fois que j'ai x^3 = 0 +1x + 3x(x-1) +1x(x-1)(x-2)

0 0 0 0
0 1 -3 0
0 0 3 1
0 0 0 1

Est ce juste ?

par **chan79** » 15 Jan 2013, 20:58

Koala1 a écrit:Il manque pas un d dans ce que vous m'écriver non ? ( devant x(x-1)(x-2) ??? )

d est forcément égal à 1 (coef de x³)

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