Polynomes, espaces vectoriels, bases et matrices de passages

[cilouu]

Bonjour, j'ai un devoir à faire pour lundi et je bloke sur la dernière question :
Voici mon devoir :

Rn[X] désigne l'ensemble des polynomes de degré <= à coeff réels donc Rn[X] = {P=a0 + a1X + a2X² + .... +anX^n}
les 0,1, ..n sont en indices et le signe ^n suppose à la puissance n
1) Montrer que l'application de ( Rn[X], +, .) est un espace vectoriel
2) Montrer que l'application de Rn[X] dans R(n+1) qui à P associe (a0,a1,a2...,an) est un isomorphisme. Quelle est la dimension de Rn[X] ?
3) n>=4 F={P=ao + a2X² +a4X^4}
Montrer que F est un sev (sous espace vectoriel) de Rn[X] et donner un sev G supplémentaire de F
4) Quel est le noyau et l'image de l'application qui à P associe P' polynome dérivé de P ?
5) Po,P1,P2...,Pn sont des polynomes tq degré Pk=k
Montrer que (Po,P1...,Pn) est une famille libre de R[X]
6)En déduire que dans R4[X], (1, (1+X)²,
(1+X)^3 , (1+X)^4 ) est une base. Ecrire la matrice de passage de la base (1, (X)², (X)^3 , (X)^4 ) dans cette base.
Ecrire le polynome 1+2X + 3X² + 2X^3 + X^4 dans cette base.

1) ev car non vide, stable par multiplication et addition . Mais dois je additionner P+P’ ?
2) isomorphisme car l’ensembl des coeff est le mêm que le degré de P, dimension n (hyperplan donc dimension (n+1)-1) Une autre méthode sinon ?
3) F sev car continet le vecteur nul, stable par l’addition et la multiplication, sev supplémentaire G car dim G + dim F = dim Rn[X], et FinterG=vecteur nul G{P= a1X + a3X^3 +… +a(n-4)X^(n-4)}
4) Ker f={ao} dim 1 et Im f=(a1,a2,...an) dim n-1
5) Famille libre car tous les coeffe sont nuls mais comment le démontrer ?

Merci de m’aider et de me corriger ou d’ajouter des détails.

[fahr451]

bonjour

1 erreur ds la formulation de l énoncé "application" n'a pas sa place

d'autre part montres tu que c 'est un R ev ou sous ev d'un R ev connu ?
connais tu le R ev R[X] oui ou non ?

2 linéarité ? bijectivité? ta réponse ne va pas et ensuite puisqu 'il a isomorphisme les deux ev ont même dimension : dim R^(n+1) ?

[cilouu]

Merci bcp pour ces petites infos !
Mais je bloke vraiment sur la question 5 et 6.
Peux tu m'aider ?

[fahr451]

pour la 5

on écrit
a(0) P(0) +...a(n) P(n) = 0
on montre que tous les a(k) sont nuls

le plus agréable par l'absurde on les suppose pas tous nuls

il existe alors un plus grand indice p de coefficient non nul

a(p) non nul et a(p+1) = ...= a(n) = 0 ( éventuellement p = n)

on a alors a(0)P(0) +...+a(p) P(p) = 0

d'où P(p) = -1/(a(p)) [a(0)P(0) +...+a(p-1) P(p-1)]

le polynôme de gauche est de degré p celui de droite de degré au plus p-1

c'est absurde

d'où la liberté

[Joker62]

Sinon c'est une famille de polynôme à degrés échelonnés, donc c'est libre.
Dans la 6, c'est libre, d'après la 5) et tu as 5 polynômes. la dimension de R4[X] c'est 5, donc c'est une base.

Pour la matrice de passage, suffit de développer les éléments de la base 1, 1+X, (1+X)^2, ... , (1+X)^4

Et tu trouveras les valeurs en fonction de 1, X, X^2, X^3 et X^4

[cilouu]

Merci bcp
La matrice de passage est donc la suivante ?

(1 1 1 1 1
0 1 2 3 4
0 0 1 3 6
0 0 0 1 4
0 0 0 0 1)

pour le polynome, (1 + 2X+ 3X² + 2X^3 + X^4) on trouve ensuite (en changeant les termes de la diagonales)

(1 1 1 1 1
0 2 2 3 4
0 0 3 3 6
0 0 0 2 4
0 0 0 0 1) ??
Je ne vois pas ou on change les coeffs .

[Joker62]

1+2X + 3X² + 2X^3 + X^4 est écrit dans la base canonique de R4[X]

On pose


Et
On cherche tel que


Donc deux méthodes, soit tu inverses P soit tu résous un système.

[cilouu]

Ok merci .
Une dernière verification
Le polynome doit être une matrice 5x5 ou alors une matrice 5x1 ?
Si on inverse P
Je trouve P-1
( 1 -1 1 -1 1
0 1 -2 3 -4
0 0 1 -3 6
0 0 0 1 -4
0 0 0 0 1 )
Cela est le polynome dans la base (1, 1+X, (1+X)², ... (c'est ce ke demande la kestion non ?)
Ou alors il faut trouver les x1,x2,x3 ..
tq l'on ait
x1=1
x2=-2
x3=3
x4=-2
x5=1

Merci de votre aide (très préciseuse ! ) ;)

[Joker62]

Ici un polynôme est un vecteur, donc un vecteur colonne.

[cilouu]

Génial merci à vous tous !!

PS : eureusement ke mon esprit de déduction est vif ! :id:

[Joker62]

Heuresement oui ! :D