Bases duales

par **sarah79** » 26 Oct 2010, 20:50

D'accord merci.

par **sarah79** » 26 Oct 2010, 21:11

P(X) appartient a Cn[X]
par contre P(zi) appartient a C c'est bien ça?

par **sarah79** » 26 Oct 2010, 21:18

(Evz1(P), ..., Evzn+1(P))=(P(z1),...,P(zn+1))=(somme ak(z1)^k,.. somme ak(zn+1)^k) et k va de 1 à n c'est exact?

par **arnaud32** » 26 Oct 2010, 21:36

oui c'est bien ca

par **sarah79** » 27 Oct 2010, 10:18

J'ai du mal avec les espace Cn[X] : c'est l'espace des polynôme complexe (le petit n signifie quoi? qu'il y a n termes)
C^(n+1) la je comprends pas vraiment ce que c'est
et alors la base canonique de Cn[X] et de C^(n+1) je vois pas ce que c'est. Je connais la base canonique de Rn[X] mais Cn[X] je ne sais pas du tout.

par **arnaud32** » 27 Oct 2010, 10:30

oui ce sont les polynomes a coefficients complexes de degre au plus n.

c'est l'ensemble des n uplets

avec les

dans C

en fait c'est le mem concepte que

et

mais avec des coefficients (qui sont des scalires) qui sont dans C et non R

par **sarah79** » 27 Oct 2010, 10:42

C(n+1) c'est les n-uplets, pas les n+1 uplets?
Base canonique de Rn[X]=(1,X,X²,...X^n)
si P appartient a Cn[X] alors P(X)= somme de 1 à k des akX^k avec ak un scalaire complexe c'est bien ça?
Par contre je vois toujours pas ce que c'est la base canonique de Cn[X], c'est la même que Rn[X]?

par **arnaud32** » 27 Oct 2010, 10:47

oui des n+1 uplets pardon
oui l'est la meme base canonique :-)

par **sarah79** » 27 Oct 2010, 10:53

D'accord merci

par **Camcam91** » 27 Oct 2010, 11:32

Bonjour
Pour montrer que l'application est un isomorphisme, j'ai essayé de procéder comme pour la question c, sauf qu'ici on ne nous dit pas les (Evzi(P))=(P(zi)) pour i=1..n est une base donc j'ai écris
Il faut montrer que ker(teta) est réduit à {0}
Donc soit Pker(teta) <=> teta(P)=0
Et ker (teta) = {PCn[X] / teta(P)=0}
ce que signifie que P(z1)=...=P(zn)=0
Mais comme ce n'est pas une base on ne peut pas dire que P est linéaire donc que p(zi)=0 <=> zi=0
Non ? Du coup je ne vois pas trop comment faire :$

par **arnaud32** » 27 Oct 2010, 11:40

tu y es presque, tu as fait un petit oubli.
combien y a t'il de

?
quel est lle degre de P?

par **Camcam91** » 27 Oct 2010, 11:44

Ah oui mince il y en a n+1 et donc le degré de P c'est n+1
Mais je ne vois tjs pas comment on peut conclure par rapport à l'injectivité, et ensuite on au problème parce que dim(Cn[X]) = n mais dim (C)=n+1 donc on ne peut par montrer comme ça que c'est bijectif

par **arnaud32** » 27 Oct 2010, 11:49

non il y a n+1

qui sont donc les racines de P qui est de degre au plus n ...

en plus

et

par **Camcam91** » 27 Oct 2010, 11:52

Ah ok merci, je viens de comprendre, j'ai inversé les zi avec le polynôme P

par **Camcam91** » 27 Oct 2010, 11:53

Mais il y a toujours quelque chose qui me bloque, je ne vois pas une fois arrivée à P(z1)=...=P(zn+1)=0 comment on peut dire que z1=...=zn+1=0

par **arnaud32** » 27 Oct 2010, 11:59

ce n'est peut etre pas ce que tu cherches.
les

sont fixes. ce que tu veux c'est

par **Camcam91** » 27 Oct 2010, 12:09

On a teta(P)=0 donc (Evz1(P)=0,....,Evzn+1(P)=0) et donc Somme des ak*(zi)^k=0 avec k de 1 à n et i de 1 à n+1
Faut donc montrer que les ak sont nuls ? comme les zi sont fixés ?

par **arnaud32** » 27 Oct 2010, 12:45

tu as un polynome de degre au plus n qui a n+1 racines distinctes .il es t donc ...

par **Camcam91** » 27 Oct 2010, 12:53

Il est nul :) ?

par **arnaud32** » 27 Oct 2010, 12:59

bah oui car un polynome P non constant admet au plus deg(P) racines.
donc P est constant et comme il a une racine r P(X)=P(r)=0

Bases duales

Qui est en ligne