Famille Libres Bases ... [MPSI]

[Ulcan]

Salut,

Bon Voilà j'ai petit Dm à faire pour la rentrée je m'y suis mis puis il y a des questions que je n'arrive pas et d'autre j'arrive mais je ne suis pas sûr de moi
Pouvez-vous m'aider ?:)

Sujets :
Soit ( Ak) n réels distincts et les polynômes
Pk= Pi ( i=1 à n avec i différent de k) (X-ai)
Sachant que Pi c le produit des ( X-ai) de 1 a n i différent de k






1) Expliciter ces polynômes pour n=3
Montrer que Pk€ R (n-1)[X].
2)Montrer que la famille ( Pk) 1 Lk(Ai)=0
Expliciter ces polynômes et justifier qu'ils forment une base de R(n-1)[x].


Mes réponses :

1) J'ai développé ( X-a1)*(X-a2)*(X-a3)
J'ai pas pu montrer Pk € R(n-1)[x]
2) L'équation Somme du produit * Alpha implique alpha =0 puis que i différent de k donc X-ai différent de 0 ( Je ne suis pas Sûr du tout)
3)C'est une famille de n-1 vecteurs et c'est une famille libre donc base de R(n-1)[]
4)pas trouvé
Juste elle serait combinaisons linéaires de Pk car Pk est une base de Rn-1 donc Tout vecteur de cet ensemble est combinaisons lineaires de Pk
5)Pas trouvé

Merci d'avance de Vos aides et vos conseils

[fourize]

bonjour !

je suppose que tu veux pas qu'on fasse ton devoir à ta place!
ceci dit,le sujet m'intéresse et je suis pret a t'aider mais
il faut dire ou poser tes question comme suit.
je suis au
1.1
j'ai fais tel, tel ça pas marcher
quelqu'un à une idée?

sur quelqu'un t'aidera sans trop attendre.

bonne compréhension et bonne courage

[Ulcan]

Ok bon puis que je n'arrive pas la première question
je commence par celle-là

Pour montrer qu'elle appartient à Rn-1 il suffit de montrer que le degré est inférieur ou égal à n-1 ou pas ?
Mais même si je devais faire ça il y a un truc qui m'inquiète c'est que quand on prend n=3 le degrés du polynôme devient 3 et non pas 2 donc dèja là ça ne marche pas

[Antho07]

Bonjour
Je pige pas ce que sont Pk et Pi....

est -ce là



??

[Ulcan]

Pk c la famille des polynômes
et Pi c'est en fait le produit vous savez c'est comme la Somme on met un sigma et là c'est un Pi

[Antho07]

Pk c la famille des polynômes
et Pi c'est en fait le produit vous savez c'est comme la Somme on met un sigma et là c'est un Pi

D'accord .... Je croyais que Pi c'etais un polynome (P indice i ).... :we: désolé

[Ulcan]

Oui c'est exactement ce que tu as mis :)

[Antho07]

Premiere question, expliciter les polynomes pour n=3 .
Calcule

[Ulcan]

Ah bon

alors ça devrait donner :

P1 = (X-a1)
P2= (X-a1)*(X-a2)
P3=(X-a1)*(X-a2)*(X-a3)

?

[Antho07]

Ah bon

alors ça devrait donner :

P1 = (X-a1)
P2= (X-a1)*(X-a2)
P3=(X-a1)*(X-a2)*(X-a3)

?

non

....





Bon ici on demande pour n=3



donc

[Antho07]

Qu'est- ce qui te bloque?

La manipulation du produit?

[Ulcan]

P1= (X-a2)*(X-a3)
P2=(X-a1)*(X-a3)
P3=(X-a1)*(X-a2)

Ah oui là c'est plus clair voimà pourquoi le degré du polynômes ne dépasse pas n-1?

[Antho07]

Oui c'est ça.

Pour le degré, pour justifier que

on pourrait dire que Pk est un produit de ... polynome de degré ... donc
Pk est de degré n-1

[Ulcan]

Oui c'est plus rapide moi ce que j'ai fait c'est une récurrence :)

Mais toi c'est plus rapide

[Antho07]

l'essentielle étant d'arriver au résultat

[fourize]

bonjour Ulcan

desolé si j'ai pas pu participer en temps réel sur ton interessante sujet;
mais juste aprés mon poste dessus :++: ma journée à tourner en une journée
super charger.mais je pense que t'as eu suffisamment .

dans le cas contraire; je le lirai en tout demain car la je suis crever

cordialement

[miikou]

salut
) Expliciter ces polynômes pour n=3 - fait
Montrer que Pk€ R (n-1)[X].- et bien c'est le produit de 1 a n different de k, il ya n-1 produit donc ..

2)Montrer que la famille ( Pk) 1<=k<=n est libre. par reccurence sur k

3) En déduire qu'elle forme une base de R (n-1) [X] famille libre de dimension n-1 dans l'espace de dim n-1, donc c'est une base !

4) Soit P un polynôme de degré inférieur ou égal à (n-1) montrer que P est combinaison linéaire des Pk - vu que ta famille est une base c'est evident !

[Ulcan]

Alors pour la 2) j'ai utiliser l'astuce que l'on avait utuliser en cours c 'est à dire avec les degrés distincts des polynômes donc famille libre
3) base car fam. libre est composé de n-1 vecteurs
4) Comme c'est une base alors forcément les P sont Comb. lineraires

Mais montrer que l'on a Alpha k= (P(Ak)/Pk(Ak)) ou P= S ( 1 à n) alpha(k)*Pk
J'arrive pas:s
5) Pas de pistes :s

[Antho07]

P1= (X-a2)*(X-a3)
P2=(X-a1)*(X-a3)
P3=(X-a1)*(X-a2)

Ah oui là c'est plus clair voimà pourquoi le degré du polynômes ne dépasse pas n-1?

ces trois polynomes n'ont pas l'air d'etre de degré différent....
pour montrer que c'est libre, on prend une combinaisons lineaire nulle:




et on veut montrer que tous les sont nuls.

Comment pourrait-on faire, sachant que les ai du debut sont distincts

[Ulcan]

Je ne comprends pas ta question mais c'est la question numéro 4 que je bloque comment montrer alpha= p/pk etc.. :s