Polynome

[barbu23]

Bonjour : :happy3:
Je n'arrive pas à faire la distinction des deux definitions suivantes :
Définition : :
Soit un anneau factoriel.
Soit :
Le contenu de est l'élément de que l'on note et qui est égal au .
est dit primitif si son contenu : .
Définition :
Soit un anneau commutatif, unitaire, intègre.
Un polynome est dit primitif si et seulement si ses coéfficients ne sont divisibles que par les inversibles de .
à coéfficients dans un corps est primitif .
Merci de votre eclairage ! :happy3:

[abcd22]

La deuxième définition fonctionne avec plus d'anneaux puisque A n'a pas besoin d'être factoriel pour pouvoir l'utiliser. Mais si A est factoriel, les deux définitions sont équivalentes, et si A n'est pas factoriel je ne sais pas si la notion de polynôme primitif a un intérêt.

[barbu23]

La deuxième définition fonctionne avec plus d'anneaux puisque A n'a pas besoin d'être factoriel pour pouvoir l'utiliser.

Je ne comrpends pas bien cette phrase abcd ! peux tu me donner plus de precisions sur ce point ?
Merci d'avance ! :happy3:

[barbu23]

svp, un petit coup de main ! :happy3:

[barbu23]

un petit coup de main, svp ! :happy3:

[Finrod]

D'après wikipedia, la deuxième définition que tu donnes est fausse ou tout du moins douteuse. http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me

Il s'agit en effet de la même chose dite un peu différemment dans tes deux def. Seule L'hypothèse de factorialité disparait. (ce que dit abcd22)

Tu arrives à voir pourquoi elles sont équivalentes ?

[barbu23]

Bonsoir : :happy3:
Merci de m'avoir montrer ce lien car il m'est interessant :
Voiçi finalement ce que je retiens :
Si est factoriel, alors :
est primitif

avec le groupe multiplicatif des inversibles.
Par exemple : est un anneau factoriel,alors :
est primitif

avec le groupe multiplicatif des inversibles.
i.e :
ou ( Bon l'une implique l'autre avec le signe ou )
Si $ A $ est un corps, alors dans ce cas, est factoriel, ( on applique donc, ce qu'il y'a çi dessus ) Tout élément non nul est inversible, et donc tous les coefficients de sont inversibles ! Mais le problème, comment définit t-on le des coefficients d'un polynomes à coefficients dans un corps ??
Merci d'avance ! :happy3:

[barbu23]

Svp, j'ai changé de questions, car l'autre n'avait aucun sens à part le fait de melanger les definitions ! Relisez maintenant mon texte avant celui là !
Je réetère ma demande de m'aider, car j'en ai vraiment besoin ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[Ben314]

Barbu, un "petit" rappel, "le" pgcd (dans le cas général) est défini à un inversible prés, donc écrire pgcd(..)=1 OU pgcd(..)=-1 n'est pas vraiment pertinent...
De plus, dans un corps, tout élément non nul est inversible ET le pgcd est défini à un inversible prés... conclusion ?

[Finrod]

Il n'y a pas de notions de pgcd pour les éléments dans ce cas.

D'ailleur il n'y a pas de notion de polynôme primitif. c'est inutile, car cette notion est un palliatif au manque d'inversibilité dans un anneau.

On peut dire aussi que dans un corps tout polynôme est primitif, ce qui simplifie bien la vie.

[barbu23]

Barbu, un "petit" rappel, "le" pgcd (dans le cas général) est défini à un inversible prés, donc écrire pgcd(..)=1 OU pgcd(..)=-1 n'est pas vraiment pertinent...

le est une application qui est toujours positive ? c'est ça ? :hum:

De plus, dans un corps, tout élément non nul est inversible ET le pgcd est défini à un inversible prés... conclusion

Oui, mais si le corps est est ce que le a un sens ? :hum:
Mrci d'avance ! :happy3:

[Finrod]

Le pgcd n'est pas une application et ça n'a rien à voir avec son signe.

La notion de diviseur n'a de sens que pour les non inversibles. En effet tout élément inversible divise tous les autres éléments de l'anneau (ou du corps).

Si d inversible et e un autre elt alors donc d "divise" e...

ce qui nous interesse est donc le plus grand diviseur non inversible. sachant que dans certain cas, lorsque deux nombre sont premiers entre eux, il n'existe pas et il ne reste donc comme diviseur que les inversibles (i.e. pgcd = un inversible).

Si le corps est le pgcd de tout couple d'éléments est quelconque puisque définit à un inversible près. Donc cette notion n'a pas de sens dans ce cas.

[barbu23]

Le pgcd n'est pas une application et ça n'a rien à voir avec son signe.

La notion de diviseur n'a de sens que pour les non inversibles. En effet tout élément inversible divise tous les autres éléments de l'anneau (ou du corps).

Si d inversible et e un autre elt alors donc d "divise" e...

ce qui nous interesse est donc le plus grand diviseur non inversible. sachant que dans certain cas, lorsque deux nombre sont premiers entre eux, il n'existe pas et il ne reste donc comme diviseur que les inversibles (i.e. pgcd = un inversible).

Si le corps est le pgcd de tout couple d'éléments est quelconque puisque définit à un inversible près. Donc cette notion n'a pas de sens dans ce cas.

Bonsoir : :happy3:
est une application biensûr ! :happy3:
Mais, tu reponds pas à la question qui me perturbe autant :
Si le corps est est ce que le a un sens ? :happy3:
Qu'est ce qu'on veut dire par un polynome dans un corps ( par exemple : est tjs primitif ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[barbu23]

Bon, ben je pense que je vois maintenant pourquoi :
Parceque, il faut appliquer la ème définition qui est la plus générale et non la première qui est valable uniquement pour les anneaux factoriels :
Définition :
Soit un anneau commutatif, unitaire, intègre.
Un polynome est dit primitif si et seulement si ses coéfficients ne sont divisibles que par les inversibles de .
:happy3:

[barbu23]

Comment passe-t-on de la ème définition à la ère ( Je sais que celà nécéssite la restriction de l'anneau intègre à un anneau factoriel ), mais je ne comprends pas comment on passe de la ème, à la ère, en introduisant le ? :S
Merci d'avance ! :happy3:

[Finrod]

Je vais réexpliquer en essayant d'être clair.

Dans un corps, tout polynome s'écrit u*P où u est inversible et le coef dminant de P est 1, c'est même plus fort que d'être primitif.
On peut écrire dans ce cas la division euclidienne de P par un autre polynôme Q par exemple.

Maintenant, dans un anneau, ça bloque car les coef ne sont pas forcément inversibles. On a donc inventé la notion de polynome primitif pour se ramener au cas précédant, celui où le pgcd des coef est un inversible.

Donc le fait d'être primitif a un sens dans un corps mais c'est une notion triviale. Seul le polynôme nul n'est pas primitif.

[Finrod]

Pour passer de la deuxième division à la première (après relectures, elles sont bel et bien ok et différentes ts les deux).

Tu prend un anneaux qui vérifie la deuxième, tu supposes qu'il est factoriel (sinon la première n'a pas de sens). Alors comme les coef ne sont divisibles que par des inversibles; leur pgcd est inversible.

[barbu23]

Je vais réexpliquer en essayant d'être clair.

Dans un corps, tout polynome s'écrit u*P où u est inversible et le coef dminant de P est 1, c'est même plus fort que d'être primitif.
On peut écrire dans ce cas la division euclidienne de P par un autre polynôme Q par exemple.

Maintenant, dans un anneau, ça bloque car les coef ne sont pas forcément inversibles. On a donc inventé la notion de polynome primitif pour se ramener au cas précédant, celui où le pgcd des coef est un inversible.

Donc le fait d'être primitif a un sens dans un corps mais c'est une notion triviale. Seul le polynôme nul n'est pas primitif.

Oui, c'est vrai ! t'as raison ! Merci ! :happy3:

[abcd22]

Dans un corps, tout polynome s'écrit u*P où u est inversible et le coef dminant de P est 1, c'est même plus fort que d'être primitif.
On peut écrire dans ce cas la division euclidienne de P par un autre polynôme Q par exemple.

Maintenant, dans un anneau, ça bloque car les coef ne sont pas forcément inversibles. On a donc inventé la notion de polynome primitif pour se ramener au cas précédant, celui où le pgcd des coef est un inversible.

Les notions de contenu et de polynôme primitif ne servent pas pour la division euclidienne (pour pouvoir diviser tout polynôme par un polynôme P sur un anneau quelconque, il faut et il suffit que le coefficient dominant de P soit inversible), ça sert pour caractériser les éléments irréductibles de A[X] si A est factoriel et pour démontrer que si A est factoriel, alors A[X] est factoriel; je n'ai jamais vu ces notions utilisées ailleurs.