Polynôme..

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Dyo
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Polynôme..

par Dyo » 06 Avr 2009, 09:46

Bonjour !

J'ai un peu du mal à montrer qu'il existe un unique polynôme qui vérifie

pour tout x réel non nul ...

Bon j'ai bien essayé de développer le truc et d'identifier les coeff, mais je trouve ça vraiment lourd et pas très intéressant. Y'a pas une autre méthode pour ce genre de problème ?

Merci ;)



Ptiboudelard
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par Ptiboudelard » 06 Avr 2009, 09:52

Bonjour ! Matinal à ce que je vois ? ;-)

Je suggère d'utiliser la méthode de la bijection ... Tu montre qu'il y a une solution unique et voilà !

Dyo
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par Dyo » 06 Avr 2009, 09:58

J'avais pas encore réfléchi à l'unicité en fait ^^

Mais pour l'existence ? :p

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mathelot
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par mathelot » 06 Avr 2009, 10:09

Bj,

pour t'échauffer de bon matin, poser



et commence à écrire le développement de et avec les identités remarquables...

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leon1789
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par leon1789 » 06 Avr 2009, 10:12

Dyo a écrit:Bonjour !

J'ai un peu du mal à montrer qu'il existe un unique polynôme qui vérifie

pour tout x réel non nul ...

Bon j'ai bien essayé de développer le truc et d'identifier les coeff, mais je trouve ça vraiment lourd et pas très intéressant. Y'a pas une autre méthode pour ce genre de problème ?

Merci ;)


Commence par le plus simple : l'unicité de Tn (j'imagine que tu travailles sur R...)
Ensuite, démontre l'existence de Tn (par exemple en suivant le conseil de mathelot)

Dyo
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par Dyo » 06 Avr 2009, 10:16

Je travaille sur R en effet.

J'ai déjà fait ce que me suggère Mathelot, et au final ça revient à poser un système pour identifier les coefficients .. non ? Du moins c'est vers quoi j'aboutis.

Dyo
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par Dyo » 06 Avr 2009, 10:28

J'avais obtenu deux équations :




Mais bon je trouve ça un peu moche.

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par mathelot » 06 Avr 2009, 10:44

Dyo a écrit:J'avais obtenu deux équations :




Mais bon je trouve ça un peu moche.


formule du binome et fonctions symétrique de a et b:






teste progressivement avec n=2,n=3,n=4...pour voir ce qui se passe:






ce qui suggère une récurrence...

Dyo
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par Dyo » 06 Avr 2009, 10:50

ta méthode est critiquable (sauf le respect que je te dois )

En même temps si je poste sur le forum c'est pour qu'on me suggère des méthodes, et donc qu'on critique celles qui ne sont pas les bonnes :p

Ok donc je retrouve le u dans les développements, j'avais même pas fait attention à ça ^^

Merci bien !

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par mathelot » 06 Avr 2009, 11:02

re,


quand tu auras fini l'exo (uniquement quand tu l'auras fini avec la méthode demandée :we: ), il faudra jeter un oeil aux polynômes de Tchebyshev.

Les siens sont liés aux de l'exercice par

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calcul formel, formalisme

par mathelot » 06 Avr 2009, 12:25

re,


si on pose

on aurait envie de réécrire les identités habituelles avec les nouvelles variables:

formule du binôme pour n=3

qui donnerait la pseudo-factorisation (on confond indice et exposant)



et aussi de regarder ce que donnent des pseudo-formules:

progression géométrique

fonction formelle


etc..mais évidemment, si on trouve de jolies choses, ça ne surprendra pas les algébristes, et il faudra les démont(r)er sérieusement par la suite.

 

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