Pôlynôme

par **Pythix** » 20 Mai 2007, 09:49

Bonjour,
voici mon problème :

E=R[X] et

on définit :

et

1) Justifier que l'on définit un endomorphisme. OK
2) Calculer L0,L1,L2. OK
L0=1 ; L1=X ; L2=1/2(3X²-1)
3) Donner le degré de Ln, et prouver
pour tout n de N :

OK
5) Déterminer la parité de Ln. OK

6) En remarquant que

Prouver que

et là j'arrive dans des calculs foireux,
j'ai essayé la récurrence, de partir en dérivant la relation remarquée et j'aboutis sur des trucs comme

avec n>2 ou d'autres expressions ou il me reste un terme en U" ou des trucs du genre...

Merci d'avance pour toute aide!

par **fahr451** » 20 Mai 2007, 09:53

bonjour

pour le 6

dérive n+1 fois en utilisant la formule de leibniz ça doit marcher

par **Pythix** » 20 Mai 2007, 09:57

n+1 fois la relation ? je vais voir...

par **Pythix** » 20 Mai 2007, 10:03

Ca marche ! quel soulagement... Merci !

par **Pythix** » 20 Mai 2007, 10:07

Par contre après on définit le produit scalaire :

j'ai montré par une intégration par parties que :

Comment en déduire que les polynômes Ln sont deux à deux orthogonaux? par une récurrence ?

par **fahr451** » 20 Mai 2007, 10:10

que vaut ?

applique ça à Ln et Lm en utilisant 6

par **Pythix** » 20 Mai 2007, 10:14

oui, mais j'arrive pas à montrer que c'est nul...

par **kinounou** » 20 Mai 2007, 10:16

Bonjour,

Avec ta dernière égalité, par symétrie tu obtiens que l'endomorphisme est auto-adjoint et par conséquent ses sous-espaces propres sont orthogonaux deux à deux, or les polynômes Ln sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes donc sont orthogonaux deux à deux.

par **Pythix** » 20 Mai 2007, 10:18

je suis en première année ....

par **fahr451** » 20 Mai 2007, 10:20

on a < Phi(Ln) , Lm> =

et on remplace les images ; n différent de m donne (n+1)n et m(m+1) différents et le résultat

par **Pythix** » 20 Mai 2007, 10:44

Merci beaucoup.

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