Polynôme

[kaito974]

Bonjour,voila un éxercice que j'essaye de faire :

On définit une suite Pn de polynômes de C[X] par la donnée de P0=2,P1=X et la relation de récurrence pour tout n appartenant à N Pn+2=XPn+1 - Pn

1)Montrer que pour tout n dans N et pour tout Z dans C privé de 0 on à :
Pn(z + 1/z)=z^n + 1/z^n

j'ai donc tenté de faire une récurence mais je bloque dans l'hérédité de plus j'aimerais savoir si l'on peut supposer l'hypothése de récurrence vraie au rang n+1 au lieu de n?

2)En déduire une expression simple de Pn(2cos(a)) pour a dans R
je trouve :
Pn(2cos(a))=alpha^n + 1/alpha^n avec alpha=(2/cos(a) - 1/cos²(a))^1/2 pour a différent de Pi/2 modulo Pi
si a =Pi/2 on à alors Pn(0)=i^n + 1/i^n

3)Déterminer les racines de Pn

[tize]

Bonjour,
je te conseille de faire comme ceci : c'est vrai au rang 0, Supposons que cela soit vrai pour tous les rang k<=n+1 Puis démontre que cela est alors encore vrai au rang n+2.

[kaito974]

j'ai déja essayé de montré ceci mais le X me gene assez dans la relation de récurrence donné

[tize]

Bonjour,
je te conseille de faire comme ceci : c'est vrai au rang 0, Supposons que cela soit vrai pour tous les rang k<=n+1 Puis démontre que cela est alors encore vrai au rang n+2.

[edit] c'est bizzare

[kaito974]

non c'est bon sa marche bien j'ai trouvé la solution

[kaito974]

j'ai répondu à la 2 en posant z=exp(i.a) et sa marche bien mais la 3) je trouve les racines suivantes :2cos(a) avec a=Pi/2n modulo Pi est ce juste ?

[tize]

Pas tout à fait, là tu ne trouves que 2 racines...
ssi et donc et les racines sont donc :
()

[kaito974]

oui en effet merci
mais il me reste une derniére chose encore,j'aimerais savoir comment factoriser Pn,puisque l'on a ses racines,pour ensuite décomposer en éléments simples :1/Pn

[tize]

Et bien si un polynôme unitaire P admet comme racines dans alors ...Reste à voir que est unitaire.

[B_J]

Salut
tu peux montrer par recurrence que le terme de plus haut degré de P_n est X^n pour tout n