Polynôme

[Eperqueloo]

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre l'équation suivante, sachant qu'il y a deux paires de racines doubles:

z^6-z^5-4z^4+5z^3-41z^2+36z-36=0

J'ai essayé en disant que le polynome et sa dérivée était nulle pour une racine double.

J'arrive à cette équation probablement fausse vue la taille du calcul:
-2z²+5z-82+80/z-98/z²=0

Si quelqu'un pouvait me donner un indice ou la méthode à utiliser pour résoudre ce type d'équations, merci.

Bonne soirée et bon week-end à tous.

[chacha7611]

Essai de trouver une racine évidente de ton polynome est ensuite tu fais une division euclidienne de ce polynome pour trouver toutes les racines...

[Eperqueloo]

Merci, mais pour résoudre le problème je ne dois pas user de la calculatrice et
la je ne vois absolument pas de solutions évidentes. :hum:
N'y a t-il pas une autre méthode pour ceux qui ont du mal comme moi? :mur:

Encore merci

J'ai comme meme trouvé qu'une solution "évidente" était 3. Du moins me semble t-il. :we:

[Jacques COLLOT]

Tu es sûr de ton énoncé car le polynôme que tu donnes a pour racines
3
-3
-2i
2i
0,5 - 0.86602 i
05 + 0.86602 i
Je ne vois pas de paires de racines doubles.
Jacques

[Eperqueloo]

Oui je n'ai pas fait de faute de retranscription et j'ai aussi trouvé ça avec la calculatrice. Il y a donc surement un problème dans l'énoncé.

Mais j'aimerai comme meme que quelqu'un puisse me donner une méthode pour résoudre ce genre de polynômes sans calculatrice et si la solution "évidente" ne l'est pas tant que ça.

Encore merci pour votre aide. Bonne soirée à tous

[Jacques COLLOT]

Voila une méthode que l'on peut appliquer
Ton polynôme se met sous la forme
(z+a)^2(z+b)^2(z^2+cz+d)

Or le terme indépendant -36 est le produit des racines et vaut a^2*b^2*d
Tu essaies toutes les combinaisons
1 1 36
1 2 18
1 3 12
1 4 9
1 6 6
2 2 9
2 3 6

Il est alors évident que la bonne combinaison devrait être 1 4 9 puisque c'est la seule dans laquelle on a 2 carrés
On peut doit donc avoir a = +/-2 ou bien -2i et b =+/- 3 ou bien +/- 3i
En calculant la valeur du polynôme pour ces différentes valeurs on peut alors déterminer facilement les bonnes racines

Enfin on peut utiliser le fait que la somme des racines est égale au coefficient en z^5

Bat
Jacques