Polynôme et DL

[Pseuda]

Bonsoir,

Au détour d'un exercice (Capes interne 1988), je me rends compte qu'il existe des fonctions qui sont mieux approchées sur un intervalle par un polynôme autre que celui de leur DL au même ordre.

Par exemple, la fonction cosinus est "mieux" approchée au voisinage de 0 par la fonction polynôme : (pourtant à un ordre inférieur) que par .

Je trouve cela bizarre, car le DL est ce qui approche le mieux la fonction. Avez-vous une explication ?

[LB2]

Bonsoir,

au sens de quelle norme approches tu la fonction cos?

[Pseuda]

Ben la norme la usuelle, la valeur absolue.

EDIT : hum non, la norme de la convergence uniforme sur l'intervalle .

[Ben314]

Salut,
Sans parler du fait que ce n'est pas forcément avec une norme que tu va évaluer si une fonction f est "mieux approchée" par un polynôme P que par un polynôme Q.

Par exemple, concernant les D.L. la définition qui marche évidement "super bien", c'est de dire que f est "mieux" approchée (au voisinage de xo) par P que par Q lorsque f-P=o(f-Q), c'est à dire .
Et je suis pas sûr que cette notion là de "mieux" corresponde à une quelconque norme ou distance (à voir...)

[pascal16]

ex : le sinus.
le DL étant alterné, tu vas sur un intervalle court :
-> être exact en 1 seul point
-> être toujours en dessus ou en dessous ailleurs


il y a des polynômes plus "proches"


en particulier, sur [a;b], le polynome "(DL pris en a+ 1/3 (b-a)) + (DL pris en a+ 2/3 (b-a))" / 2 est plus proche en moyenne que le DL en (a+b)/2

et on a aussi "DL à l'ordre n + DL à l'ordre n-1"/2 est plus proche que "DL à l'ordre n" (car on est alterné).


sur EXP, c'est le contraire, on le surestime à gauche et sous-estime à droite avec un DL, on peut l'améliorer.

[aviateur]

Bonjour
Est ce que ton polynôme P est la meilleure approximation polynomiale ( avec un degré déterminé) de la fonction cosinus sur l'intervalle au sens de la norme uniforme
Mais la norme de la valeur absolue dans un espace de fonction me laisse perplexe!! ça veut dire quoi?
Tu devrais tracé cos(x)-p(x) cela doit équi osciller. En out cas ça devrait être un sujet qui tourne autour de cela.
Tandis que la partie polynomiale du DL n'est qu'une approximation locale.

[LB2]

Ben la norme la usuelle, la valeur absolue.

et sur quel intervalle?

Si on ne précise pas si on cherche une approximation locale (comme Ben le signale) ou globale, le problème n'est pas vraiment bien posé...

[aviateur]

Bon n'ayant pas le sujet il faut deviner de quel type d'approximation on a. (exercice inversé: on a la réponse et il faut deviner la question)
Alors vous pouvez vérifier que P est le polynôme d'interpolation d'Hermite de f(x)=cos(x) aux points
0 et i.e P est l'unique polynôme de degré 3 qui vérifie

[Pseuda]

Mince, je ne me rappelle plus comment j'ai constaté cela, mais je pense que tu es dans le vrai avec cela :

Bonjour
Est ce que ton polynôme P est la meilleure approximation polynomiale ( avec un degré déterminé) de la fonction cosinus sur l'intervalle au sens de la norme uniforme
Mais la norme de la valeur absolue dans un espace de fonction me laisse perplexe!! ça veut dire quoi?
Tu devrais tracé cos(x)-p(x) cela doit équi osciller. En out cas ça devrait être un sujet qui tourne autour de cela.
Tandis que la partie polynomiale du DL n'est qu'une approximation locale.

J'avais constaté que c'était la meilleure approximation de la fonction cos sur l'intervalle , donc comme c'est sur un intervalle, forcément pour une norme comme la norme uniforme (je corrige mon message plus haut).

[Pseuda]

Bon n'ayant pas le sujet il faut deviner de quel type d'approximation on a. (exercice inversé: on a la réponse et il faut deviner la question)
Alors vous pouvez vérifier que P est le polynôme d'interpolation d'Hermite de f(x)=cos(x) aux points
0 et i.e P est l'unique polynôme de degré 3 qui vérifie

Cela doit correspondre à cette explication. Merci !

L'approximation par ce polynôme est meilleure que le DL(0) sur l'intervalle , mais pas au voisinage de 0 où le DL(0) est meilleur.

[LB2]

en soi parler de qualité d'approximation ne veut rien dire si on ne précise pas pour quelle métrique... Il est courant qu'il y ait convergence simple mais pas convergence uniforme par exemple

[Pseuda]

en soi parler de qualité d'approximation ne veut rien dire si on ne précise pas pour quelle métrique... Il est courant qu'il y ait convergence simple mais pas convergence uniforme par exemple

Oui bien sûr. Ce que je voulais dire par là, c'est que près de 0, la valeur donnée par la partie polynomiale du DL(0) est meilleure que celle du polynôme d'Hermite (je vais confiance à aviateur sur cette terminologie), et en se rapprochant de , c'est l'inverse.
Mais pour la norme uniforme, les polynômes d'Hermite sont meilleurs, et je crois que ces polynômes étaient les sous-jacents (sans les nommer) de l'exercice.

[aviateur]

Mais une chose est quasi sûre c'est que le polynôme (disons de degré 3) qui est la meilleure approximation de cos(x) sur au sens de la norme uniforme n'est pas ce polynôme d'Hermite. Au demeurant sur cet exemple c'est une très bonne approximation.
Sur le coup j'ai cru que c'était celui là car P semble équi oscille par rapport à cos(x). C'est un très bon exercice de calculer cette meilleure approximation, on peut le mettre en énigme:
calculer qui réalise

Mais en général on cherche des approximations pour des normes où le calcul est bien plus facile

Par exemple minimiser sur où , cela se fait très vient via les polynômes orthogonaux.
L'interpolation polynomiale de Lagrange où d'Hermite ça marche pas bien (sauf exception ici).
En fait "ça marche pas bien" en soi même cela ne veut rien dire. Tout dépend de ce que l'on veut faire. Si l'approximation sert dans le traitement du signal (son,image..) alors on projettera le signal sur des bases de polynômes, polynômes trigonométriques voire des bases d'ondelettes.
Mais l'interpolation polynomiale peut servir à calculer numériquement des intégrales (penser à la méthode de Simpson composites que l'on peut accélérer par la méthode de Romberg).