Polynôme

[zork]

Salut

Je cherche à montrer que:

dans la démo que j'ai on fait ceci:
L'ensemble Un des racines nième de l'unité est union disjointe des Pd (racines dièmes primitives de l'unité) pour d|n. déjà pourquoi cela est-il vrai? une racines primitives est une racine nème


Comment passe-t-on de la première à la deuxième égalité ainsi qu'à la troisième?


merci

[arnaud32]

quelle est la definition de ?

[BiancoAngelo]

quelle est la definition de ?

Vu ce qui est écrit, est le polynôme cyclotomique associé à d, donc la troisième égalité est juste une définition...

Par contre, pour la deuxième, c'est une histoire de comptage.

Il suffit de vérifier qu'en prenant les diviseurs d de n, l'union des racines primitives dièmes donne toutes les racines nièmes.
Il faut revenir à la définition de la racine primitive et c'est réglé très facilement je pense.

[zork]

ok c'est bon merci

[Ben314]

Pour la première égalité, c'est la définition même de Un : c'est l'ensemble des z tels que z^n=1 (plus le fait que les racines sont simples)

Pour la troisième, c'est effectivement assez souvent la définition que l'on prend des polynômes cyclotomiques

Et pour la deuxième, il n'y a rien a compter du tout : si z est tel que z^n=1, alors noyau du morphisme de groupe Z->C;k->z^k est non trivial donc c'est un dZ avec d dans N* qui divise n (vu que n est dans dZ) : z est donc une racine primitive d-ième de l'unité pour un certain d qui divie n.
Et la réciproque est encore plus triviale : si z est une racine primitive d-ième de l'unité pour un certain d qui divise n alors z^d=1 donc z^n=1.