Polynome:3
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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adamNIDO
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par adamNIDO » 05 Sep 2014, 21:22
Bonjour,
Soit
le polynôme défini par :
=Z^{4}-a.Z^{2}+1)
Mon essai,
on a
=\dfrac{a^{2}}{4}-a.\dfrac{|a|}{2}+1)
Commençons par le cas
alors
=P(\sqrt{\dfrac{2}{2}})=0)
alors
admet
avec
comme solution sur
ainsi pour le cas
P admet 2 solution multiple
de plus comme 1 est une solution de $P$ alors par division eucludienne on obtien
=(Z^{3}+Z^{2}-Z-1)(Z-1))
on remarque aussi que 1 et -1 sont deux solution trivial de
)
alors encore par division euclidienne on obtient
=(Z-1)(Z^{2}+2Z+1)=(Z-1)^{2}(Z+1)^{2})
alors P admet 2 solution multiple .
Pour le cas a>2:
on a
=\dfrac{a^{2}}{4}-a\dfrac{|a|}{2}+1=1-\dfrac{a^{2}}{4})
posons
alors
=Q(Z^{2})=Q(Y)=Y^{2}-aY+1)
le discriminant donne
comme
donc
admet
 \Longrightarrow)
admet
)
Pour le cas a<2:
posons
alors
comme
n'admet pas de solution réels
Merci pour votre attention
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adamNIDO
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par adamNIDO » 06 Sep 2014, 07:17
salut,
S'il vous plait quelqu'un peut m'aider je suis bloqué
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adamNIDO
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par adamNIDO » 06 Sep 2014, 10:21
salut,
Personne!!
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wserdx
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par wserdx » 06 Sep 2014, 10:31
J'ai l'impression que ton approche est un peu brouillon.
Il te faut raisonner sur le tableau de variation de
, le signe de
)
, et le théorème des valeurs intermédiaires (la cas particulier monotone)
Edit : Ne pas oublier
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adamNIDO
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par adamNIDO » 06 Sep 2014, 10:50
merci pour votre attention WSERDX je vais mise a jour ma réponse j'espère que vous allez la verifier plus tard
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adamNIDO
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par adamNIDO » 06 Sep 2014, 11:38
salut,
Sur
le polynôme
est décroissante et continue donc par Théorème des valeurs intermédiaires
au mois une solution
sur
tels que
=u)
avec u entre
)
et
comme
or
est décroissante sur
\leq 0 \Longrightarrow u \in [0,P(\sqrt{a/2})])
ainsi
admet au mois des solution sur
Sur
le polynôme
est croissante et continue donc par Théorème des valeurs intermédiaires
au mois une solution
sur
tels que
avec u entre
et
ainsi
admet au mois des solution sur
merci de votre attention
Est ce que mon raisonnement est correcte ? sinon s'il vous plait expliquer moi en details
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chan79
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par chan79 » 06 Sep 2014, 11:52
adamNIDO a écrit:merci pour votre attention WSERDX je vais mise a jour ma réponse j'espère que vous allez la verifier plus tard
Le plus rapide pourrait être de calculer la dérivée de P; elle s'annule pour
et son opposé (si a est strictement positif)
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adamNIDO
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par adamNIDO » 06 Sep 2014, 12:21
Merci chan79 mais est ce que mon raisonnement est correct ?donc je suis pas besoin d'utilise TVI
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adamNIDO
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par adamNIDO » 06 Sep 2014, 12:33
j'arrive pas a comprendre s'il vous plait s'il quelqu'un pourrait me faire une rédaction de la solution détails sa sera gentille de votre part
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zygomatique
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par zygomatique » 06 Sep 2014, 13:21
salut
 = z^4 - az^2 + 1 = \left(z^2 - \dfrac a 2 \right)^2 - \dfrac {a^2 - 4}{4})
donne immédiatement les résultats ...
cas 1 :: a = 2 ::
 = (z - 1)^2(z + 1)^2)
....
cas 2 :: |a| 0 et P(z) n'a pas de racine ...
cas 3 :: |a| > 2 :: la forme canonique de P(z) est une différence de deux carrés donc on peut factoriser ....
REM :: traiter le cas a = -2 ...Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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adamNIDO
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par adamNIDO » 06 Sep 2014, 13:41
Un grand merci Mr zygomatique pour le cas
,
=(Z^{2}+1)^{2})
donc
\geq 0)
alros qui est ce que peut deduire de ca
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zygomatique
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par zygomatique » 06 Sep 2014, 14:44
adamNIDO a écrit:Un grand merci Mr zygomatique pour le cas
,
donc
alros qui est ce que peut deduire de ca
non seulement P(z) >= 0 mais aussi P(z) >=1 > 0 donc P(z) n'est pas factorisable et n'a pas de racine ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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adamNIDO
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par adamNIDO » 06 Sep 2014, 15:16
zygomatique a écrit:non seulement P(z) >= 0 mais aussi P(z) >=1 > 0 donc P(z) n'est pas factorisable et n'a pas de racine ....
merci beaucoup
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deltab
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par deltab » 06 Sep 2014, 15:53
Bonjour
QUOTE=adamNIDO]Merci chan79 mais est ce que mon raisonnement est correct ?donc je suis pas besoin d'utilise TVI[/quote]
C'est encore brouillon.
Pour utiliser le TVI (un de ces corolaires), il connaitre le signe de
,
=1>0)
et celui de
.
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adamNIDO
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par adamNIDO » 06 Sep 2014, 16:11
merci deltab mais pouvez vous etre plus claire details votre reponse
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deltab
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par deltab » 06 Sep 2014, 16:18
adamNIDO a écrit:merci deltab mais pouvez vous etre plus claire details votre reponse
Si pour une valeur >0 de a,
>0)
,
admet-il des racines?
Si pour une autre valeur >0 de a,
<0)
,
admet-il des racines?
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zygomatique
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par zygomatique » 06 Sep 2014, 16:36
suite ...
je suppose a positif et même a > 2 (les autres cas étant traités) ...
 = z^4 - az^2 + 1 = \left(z^2 - \dfrac a 2 \right)^2 - \dfrac {a^2 - 4}{4} = [z^2 -\dfrac 1 2(a - \sqrt {a^2 - 4})][z^2 - \dfrac 1 2 (a + \sqrt{a^2 - 4})])
alors pour connaître le nombres de racines de P il suffit de répondre à la question suivante :
dans chaque facteur le coefficient de 1/2 est-il positif ?
:zen:
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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adamNIDO
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par adamNIDO » 06 Sep 2014, 17:32
merci zygomatique vous expliquez bien les choses
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adamNIDO
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par adamNIDO » 06 Sep 2014, 17:33
merci également deltab
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deltab
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par deltab » 06 Sep 2014, 18:01
@adamNIDO.
On t'a demandé de calculer
))
et déduire ensuite le nombre de racines de
)
pour
et
.
On a
=\dfrac{a^2}{4}-a\dfrac{a}{2}+1=1-\dfrac{a^2}{4})
et le signe de
s'en déduit rapidement.
1)
=>
=0)
donc une seule racine
2)
>0)
donc pas de racines,
>= P(\sqrt{a/2})>0)
.
3)
=>
, et donc
P(\sqrt{a/2})<0)
, on a alors une seule racine dans
. Comme
= +\infty)
, on a une autre racine (et unique racine) dans
.
Je te laisse récapituler.
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