Polynôme

[Archytas]

Soit ses racines complexes. On pose , delta est un polynôme symétrique des donc delta appartient à Z quelque soit n.
Je trouve le donc un peu rapide et j'ai beau avoir pris un papier et un crayon je ne vois pas ce qui justifie ce donc. J'ai essayé avec pas mal d'exemple de P et différentes valeurs de n ça marche tout le temps. Quelqu'un aurait une explication ?

[Monsieur23]

Aloha,

Est-ce que tu connais les polynômes symétriques élémentaires ? En fait, on sait qu'ils engendrent tous les polynômes symétriques : tu peux donc écrire ton polynôme symétrique en somme/produit de polynômes symétriques élémentaires, qui eux valent ± les coefficients de P, qui sont entiers.

[Archytas]

Désolé, j'ai pas compris !

[Monsieur23]

En gros : http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_sym%C3%A9trique#Polyn.C3.B4mes_sym.C3.A9triques_.C3.A9l.C3.A9mentaires

Pour résumer, tu peux lier les coefficients de ton polynôme avec les polynômes symétriques élémentaires en les racines.
Comme les coeffs sont des entiers, les polynômes symétriques élémentaires en les racines aussi.

Comme ton Delta est somme et produit de polynômes symétriques élémentaires, il est aussi entier.