Polynome

[Vlad-Drac]

Coucou je voudrais savoir si quelqun serais capable de vérifié mon exo ..

soit les 2 polynome A(X)=X^3 B(X)=X² +X + 2

1) justifié que A et B sont 1er entre eux:

B est irreductible dans R et B ne divise pas A , donc nécessairement ces 2 polynomes sont 1er entre eux.

2) en utilisant l'aglo d'euclide determoiner U et V tq : 8 = UA + BV:


on divise A par B on puis la division de B par le reste nous donne un reste = à 8

on a donc A = B (-X-1) + (-X +2 )
et B = (-X+2) (-X-3) +8

on obtien 8 = B(-X²-2X+4) +A(X+3)

3)en deduire la decompo en elet simple sur R de 1 / X^3(X²+X+2):

d'apres legalité 2) on a:

8/AB = (UA + BV)/ AB
1/AB = U/8B + V/8A

1/AB = [-X²-2X+4 / (8X^3)] + [X+3/8(X²+X+2)]

[alavacommejetepousse]

bonjour

démarche correcte

[Vlad-Drac]

ya il besoin d'allé plus loin dans ma décomposition ? je ne pense pas vu qu'il son ireductible mais bon

[Ben314]

A la rigueur, tu peut "couper" le premier morceaux pour avoir :
- 1 / 8X - 2 / (4X²) + 1 / (2X^3)
qui, si tu doit intégrer ou dériver est légèrement plus simple.

[Vlad-Drac]

ha oui pardon apres avoir relu il faut le mettre sous cette forme :

1/AB = 1/8 * [ -1/X + (-2)/X² + 4/X^3 ] + la 2eme partie qui est irreductible

[Vlad-Drac]

oui merci BEn cetais le resultat a trouver il me semble