Bonjour,
On montre qu'un polynôme P ne peut admettre d'autres racines que 0 et 1 dans C de la façon suivante :
On suppose qu'il existe a différent de 0 et de 1 tel que P(a)=0
Puis on montre (avec l'exercice) que pour tout n de N la dérivée nième en a est nulle : on déduit une absurdité... Pourquoi ?
Merci bcp !
Polynôme
8 messages
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par Ben314 » 23 Fév 2010, 13:52
Salut,
Un petit rappel : dans un polynôme P,
Si P(a)=0, cela signifie que l'on peut factoriser (X-a) dans P(X)
Si P(a)=P'(a)=0, cela signifie que l'on peut factoriser (X-a)² dans P(X)
Si P(a)=P'(a)=P''(a)=0, cela signifie que l'on peut factoriser (X-a)^3 dans P(X)
etc...
Que peut on factoriser dans un polynôme tel que P(a)=P'(a)=P''(a)=P'''(a)=...=P^(n)(a)=0 ? Que peut on en déduire sur le degrés de P ?
Un petit rappel : dans un polynôme P,
Si P(a)=0, cela signifie que l'on peut factoriser (X-a) dans P(X)
Si P(a)=P'(a)=0, cela signifie que l'on peut factoriser (X-a)² dans P(X)
Si P(a)=P'(a)=P''(a)=0, cela signifie que l'on peut factoriser (X-a)^3 dans P(X)
etc...
Que peut on factoriser dans un polynôme tel que P(a)=P'(a)=P''(a)=P'''(a)=...=P^(n)(a)=0 ? Que peut on en déduire sur le degrés de P ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par jeje56 » 23 Fév 2010, 15:40
Salut, merci : donc la contradiction est que (X-a)^(n+1) ne peut pas diviser P de degré n... Ok, mais pourquoi a=0 ou 1 peut convenir ?
par fatal_error » 23 Fév 2010, 15:47
salut,
jpense que si on suppose que a est racine de P(x) alors = cx(x-1)(x-a)^{k}R(x))
Ou R(x) peut pas se factoriser par (x-a)
Du coup, si pour tout degré n de P la dérivée nieme en a est nulle, ca veut dire que P(x) = c(x-a)^n, et du coup P a plus pour racine 0 et 1
jpense que si on suppose que a est racine de P(x) alors
Ou R(x) peut pas se factoriser par (x-a)
Du coup, si pour tout degré n de P la dérivée nieme en a est nulle, ca veut dire que P(x) = c(x-a)^n, et du coup P a plus pour racine 0 et 1
la vie est une fête 
par Ben314 » 23 Fév 2010, 16:34
Alors là, si tu me donne pas l'énoncé de l'exo, je vois vraiment pas comment je peux deviner...jeje56 a écrit:Salut, merci : donc la contradiction est que (X-a)^(n+1) ne peut pas diviser P de degré n... Ok, mais pourquoi a=0 ou 1 peut convenir ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par jeje56 » 24 Fév 2010, 07:50
Salut, autant pour moi oui, je donne l'énoncé :
On considère l'endomorphisme L des polynômes de degré inférieur ou égal à n défini par : L(P)=X(1-X)P'+nXP
1). MQ les vecteurs propres de L sont de degré n : je pense remplacer L(P) dans l'équation L(P)=aP (a valaur propre) et MQ coef(x^n)=0 implique P=0 d'où une contradiction, mais je n'y arrive pas...
2). MQ P n'a pas d'autres racines dans C que 0 et 1 : là je procède comme dans le post précédent, en supposans P(a)=0 avec a différent de 0 et 1... mais ma question est pourquoi 0 et 1 peuvent être racines ?
Merci bcp !
On considère l'endomorphisme L des polynômes de degré inférieur ou égal à n défini par : L(P)=X(1-X)P'+nXP
1). MQ les vecteurs propres de L sont de degré n : je pense remplacer L(P) dans l'équation L(P)=aP (a valaur propre) et MQ coef(x^n)=0 implique P=0 d'où une contradiction, mais je n'y arrive pas...
2). MQ P n'a pas d'autres racines dans C que 0 et 1 : là je procède comme dans le post précédent, en supposans P(a)=0 avec a différent de 0 et 1... mais ma question est pourquoi 0 et 1 peuvent être racines ?
Merci bcp !
par Ben314 » 24 Fév 2010, 10:47
(Re)Salut.
J'imagine plusieurs méthodes pour résoudre l'exercice et, si tu as un peu de temps, je pense que chacune a son interêt :
Méthode 1 :
Bien que ce ne soit pas demandé, il est naturel de se poser la question : L est-il bien un endomorphisme de Rn[X] ?
Le fait que L soit linéaire est évident, mais le fait que le degré de L(P) est inférieur ou égal à n (lorsque P est de degré inférieur ou égal à n) l'est un peu moins. Comme L est linéaire, il suffit de calculer L(X^k) [pour k entre 0 et n] est de vérifier qu'il est bien de degré inférieur ou égal à n.
Or, ces calcul donnent en fait la matrice M de L dans la base cannonique {1,X,X²,...,X^n} de Rn[X] et il s'avère qu'elle est triangulaire donc on peut directement "voir" dans M quelles sont les valeurs propres de L et on peut assez simplement calculer les vecteurs propres associées à ces valeurs propres ce qui permet de répondre directement aux deux questions de l'énoncé sans aucun calcul suplémentaire.
Méthode 2 :
On considère un complexe lambda fixé et on constate que l'équation L(P)=lambda.P est en fait une équation différentielle d'inconnue P. On la résoud puis on regarde à quelle condition (sur lambda) une des solutions est un polynôme de Rn[X]. De nouveau, cette méthode donne trés précisément les valeurs propres de L ainsi que les vecteurs propres et la question 2) devient triviale vu que l'on a l'expression exacte des vecteurs propres.
Méthode 3 : (seule méthode rendant la question 2) un peu interessante...)
Pour la 1) Tu calcule L(X^k) [pour k entre 0 en n] et tu en déduit que, si P est de degré d contradiction.
Je t'ai souligné la partie où il est indispensable de supposer que a est différent de 0 et de 1.
Dans les méthodes 1 et 2, tu as directement l'expression des vecteurs propres de l'endomorphisme de L et tu vérifie bètement que seuls 0 et 1 sont racines.
Avec la méthode 3, la question 2) te dit que les vecteurs propres ne peuvent être que de la forme P = X^?.(X-1)^? (à mult. par une constante prés, ce sont les seuls polynômes a n'avoir que 0 et 1 comme racines) et la question 1) implique qu'il sont de la forme P = X^k.(X-1)^(n-k).
Il n'y as alors plus qu'a vérifier que ces polynômes sont bien vecteurs propre de L...
J'imagine plusieurs méthodes pour résoudre l'exercice et, si tu as un peu de temps, je pense que chacune a son interêt :
Méthode 1 :
Bien que ce ne soit pas demandé, il est naturel de se poser la question : L est-il bien un endomorphisme de Rn[X] ?
Le fait que L soit linéaire est évident, mais le fait que le degré de L(P) est inférieur ou égal à n (lorsque P est de degré inférieur ou égal à n) l'est un peu moins. Comme L est linéaire, il suffit de calculer L(X^k) [pour k entre 0 et n] est de vérifier qu'il est bien de degré inférieur ou égal à n.
Or, ces calcul donnent en fait la matrice M de L dans la base cannonique {1,X,X²,...,X^n} de Rn[X] et il s'avère qu'elle est triangulaire donc on peut directement "voir" dans M quelles sont les valeurs propres de L et on peut assez simplement calculer les vecteurs propres associées à ces valeurs propres ce qui permet de répondre directement aux deux questions de l'énoncé sans aucun calcul suplémentaire.
Méthode 2 :
On considère un complexe lambda fixé et on constate que l'équation L(P)=lambda.P est en fait une équation différentielle d'inconnue P. On la résoud puis on regarde à quelle condition (sur lambda) une des solutions est un polynôme de Rn[X]. De nouveau, cette méthode donne trés précisément les valeurs propres de L ainsi que les vecteurs propres et la question 2) devient triviale vu que l'on a l'expression exacte des vecteurs propres.
Méthode 3 : (seule méthode rendant la question 2) un peu interessante...)
Pour la 1) Tu calcule L(X^k) [pour k entre 0 en n] et tu en déduit que, si P est de degré d contradiction.
Je t'ai souligné la partie où il est indispensable de supposer que a est différent de 0 et de 1.
Dans les méthodes 1 et 2, tu as directement l'expression des vecteurs propres de l'endomorphisme de L et tu vérifie bètement que seuls 0 et 1 sont racines.
Avec la méthode 3, la question 2) te dit que les vecteurs propres ne peuvent être que de la forme P = X^?.(X-1)^? (à mult. par une constante prés, ce sont les seuls polynômes a n'avoir que 0 et 1 comme racines) et la question 1) implique qu'il sont de la forme P = X^k.(X-1)^(n-k).
Il n'y as alors plus qu'a vérifier que ces polynômes sont bien vecteurs propre de L...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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