Polynôme

par **vysy** » 13 Fév 2010, 11:21

[FONT=Comic Sans MS]Re-bonjour,
soit P un polynôme de K[X],
je ne comprends pas où intervient le fait que (K est de caractéristique nulle) sur l'équivalence : P est sans facteur carré pgcd(P,P') = 1 ? merci de votre aide[/FONT]

par **vysy** » 13 Fév 2010, 14:47

[FONT=Comic Sans MS]pas un brin de piste...?[/FONT] :triste:

par **Finrod** » 13 Fév 2010, 15:17

Si "a" est une racine commne a P et à P' alors l'ordre de "a" en tant que racine de P' est égal à l'ordre de "a" en tant que racine de P moins 1.

Donc l'ordre de "a" en tant que racine de P est au moins 2.

Par contraposé, si P n'a pas de facteur carré, P et P' n'ont pas de racines en commun.

par **vysy** » 13 Fév 2010, 15:31

mais pgcd (P et P') diff de 1 n'implique pas que P et P' ont une racine en commun...

par **vysy** » 13 Fév 2010, 16:14

[FONT=Comic Sans MS]je ne vois pas où on se servirait de l'hypothèse K de caractéristique nulle..[/FONT]

par **Nightmare** » 13 Fév 2010, 16:35

Eh bien en même temps, regarde ce qu'il se passe pour des polynômes dans Z/2Z ! Déjà, la dérivation est un peu "différente" !

par **Finrod** » 13 Fév 2010, 16:58

vysy a écrit:mais pgcd (P et P') diff de 1 n'implique pas que P et P' ont une racine en commun...

Dans la clôture algébrique, si.

edit : après, en carac nulle, les extension sont séparables, ça permet de raisonner sur les facteurs irréductibles de P pour en trouver 1 au carré.

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