Polynôme récurrent

[valsad]

Bonjour,

Pouvez-vous m'aider sur cet exrcice svp?

Soit Pn un polynôme de R[X] défini par



Soit x un réel fixé. Calculer Pn(x) en fonction de n et x (3 cas à distinguer).

Merci d'avance.

[Ben314]

Salut,
Si tu a fait un peu d'algèbre linéaire, tu devrait penser à poser qui conduit à où est une matrice 2x2.
On a donc et, pour évaluer , on cherche le polynôme caractéristique de .
Sauf qu'en fait, si la formule de récurrence est du type on trouve que le polynôme caractéristique de est et tout dépend de la nature des racines de ce polynôme (2 racines réelles ; une racine double ; deux racines complexes)

[valsad]

Merci pour ta réponse mais j'ai encore quelques interrogations:
D'après la formule de récurrence le polynôme caractéristique serait
Ce qui donne . donc . Les racines sont donc soient réelles, soient doubles, non? Je ne comprends pas comment on peut avoir des racines complexes?

[Ben314]

Non, la formule donne comme polynôme caractéristique .

[Pour s'en rappeler "rapidement", il suffit de voir que le(s) lambda que l'on cherche sont ceux tels que vérifie la formule de récurence.
Il faut donc que c'est à dire que ]

Le discriminant est donc et il faut discuter selon que ; ou

[valsad]

Merci beaucoup. J'avais une erreur de signe dans mon équation caractéristique et c'est pour cela que je ne retrouvais pas les 3 cas.

Encore merci!

[valsad]

Dans ce même exercice, on me demande de montrer que Pn est l'unique polynôme vérifiant Pn(cos;))=cos(n;))=>ok
Ensuite on me demande de calculer toutes les racines de Pn et Pn'. Mais là, je ne sais pas du tout comment m'y prendre!
Quelqu'un aurait une idée?
Merci

[girdav]

Dans un premier temps cherche les racines de la forme . Combien y en a-t-il ? Quel est le degré de ?

[valsad]

Le degré de Pn est n, je l'ai déterminé dans une question précédente. Mais qu'entends tu par chercher les racines de la forme cos(;))?

Tu veux dire qu'on cherche Pn(x)=0, on pose x = cos(;))
Donc on cherche Pn(cos(;)))=0 ;) cos(n;))=0 ;) ;)=;)/4 +2k;)/n ou ;)=-;)/4 +2k;)/n?

[girdav]

Si est racine, que doit valoir ?

[valsad]

Je trouve donc une infinité de solution. On Pn est de degré n donc ne peut admettre que n racines au plus, non?

[girdav]

Attention, il faut prendre dans sinon on risque de compter pas mal de fois la même racine.

[valsad]

j'ai beaucoup de mal avec les équations trigonométriques!!! Peux-tu me dire comment trouver toutes les racines qui appartiennent à [0,2;)[?

[girdav]

On a que si et seulement si c'est-à-dire que est de la forme .
On considère que (car le est pair et périodique, ainsi on ne compte qu'une fois chaque racine).
Combien y a-t-il de de cette forme entre et ?

[valsad]

C'est la que je suis perdue... Je pense qu'il y en a n : de k=0 à k=n-1. Mais je n'en suis pas sure. Je me trompe ou pas?

[girdav]

Voilà, maintenant tu sais que les racines sont de la forme , .
Maintenant que tu as racines pour un polynôme de degré , ne peux-tu pas conclure?

[valsad]

Ok, c'est compris! :we: Merci beaucoup pour ton aide!!!