Polynôme minimal

par **AlexisD** » 22 Jan 2010, 18:47

Bonjour,
Voici ce que je peux lire dans un cours.
On considère une extension de corps E/K et deux nombres

dans E supposés algébriques sur le corps K.
J'appelle

le polynôme de K[X] minimal de

.
Si

est une racine de

, il se peut que

(les sous corps de E obtenus par adjonctions de

et

à K) bien que

.

Je cherche un exemple.
Dans un premier temps, en prenant K=Q et E=R.
Par exemple en prenant comme polynome

polynôme irréductible de

mais je bloque.
Quelqu'un aurait-il un exemple ?
D'avance, merci.

par **Doraki** » 22 Jan 2010, 18:52

Il suffit de vérifier que K(a) ne contient pas toujours a'.

par **Ben314** » 22 Jan 2010, 18:55

Salut,
Ton exemple marche trés bien : ton polynôme a une racine réelle

donc évidement

est un sous corps de

alors que si tu prend pour

une des deux autres racines, alors

n'est pas réel donc

ne risque pas d'ètre égal à

Edit : j'avais pas tout bien lu ton post : ton exemple marche si on prend

et

.
Il ne marche évidement pas pour

car dans

ton polynôme n'a qu'une seule racine !!!

par **AlexisD** » 22 Jan 2010, 19:14

Merci beaucoup à vous. C'est en effet assez simple à établir.