Polynôme minimal

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sandrine_guillerme
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polynôme minimal

par sandrine_guillerme » 20 Mai 2007, 02:38

Re jeunes gens,

je lance un autre débat, une autre conversation à propos d'une partie super intéréssante de l'algèbre linéaire,
oui, le polynôme minimal,

je veux savoir concrètement à quoi ça sert, à part le critère de diagonalisabilité (si le polynôme minimal est scindé alors l'endomorphisme est diagonalisable)

mais mis à part ça, en voyez vous d'autre? (en rapport avec la réduction de jordan, pas de Dunford c'est hors programme)

Merci d'avance .. !



fahr451
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par fahr451 » 20 Mai 2007, 03:32

bonsoir

scindé ne suffit pas pour diagonalisable

scindé ssi trigonalisable

scindé à racines simpes ssi diago

fahr451
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par fahr451 » 20 Mai 2007, 03:34

je suis jamais de mauvaise humeur

et surtout pas avec sandrine toujours fort amicale

et je suis fort jeune dans ma tête pour mes 451 printemps

sandrine_guillerme
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par sandrine_guillerme » 20 Mai 2007, 03:37

fahr451 a écrit:je suis jamais de mauvaise humeur

et surtout pas avec sandrine toujours fort amicale

et je suis fort jeune dans ma tête pour mes 451 printemps



;)

Et sache que ça fais très plaisir d'avoir un fahr présent partout dans ce forum .. !!

fahr ;)

je crois que j'ai deviné ton age 78 ? :happy2:
si c'est ça, je peux te dire comment j'ai trouvé

fahr451
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par fahr451 » 20 Mai 2007, 03:40

ne cherche surtout pas cela n'a aucun intérèt

essayons de faire des maths plutôt

sandrine_guillerme
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par sandrine_guillerme » 20 Mai 2007, 03:47

Oui , je veux bien, mais bon c'est toi qui a dis à deux reprise ton age .. c'etait comme un petit défi ..

enfin bref pour notre poly minimal,

ce que j'ai dis c'est une déf de mon cours :triste:

fahr451
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par fahr451 » 20 Mai 2007, 03:50

A une matrice carrée de taille (n>=2) non nulle vérifiant A^2 = 0

quel est son polynôme minimal ?

est elle diagonalisable?


ex A = (0 1)
(0 0)

sandrine_guillerme
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par sandrine_guillerme » 20 Mai 2007, 03:53

pour l'ex : polynome minimal C'est X^2

pour l'autre on écrit la forumule avec la trace et dét et il faut la factoriser nan?

fahr451
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par fahr451 » 20 Mai 2007, 03:54

X^2 pour le polynome minimal oui

est -il scindé ? oui

la matrice est-elle diagonalisable ?

sandrine_guillerme
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par sandrine_guillerme » 20 Mai 2007, 03:58

Non .. bon ok ..

Merci

sandrine_guillerme
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par sandrine_guillerme » 20 Mai 2007, 04:03

Alors,

D'autre utilité?

Je dis ça parceque le prof de cours n'arrêtais pas de dire Quel beau polynome il sert à plein de chose, je ne sais pas mais je trouve le pol car beaucoup plus puissant

sandrine_guillerme
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par sandrine_guillerme » 20 Mai 2007, 04:13

Oui je pense,

enfin j'en ai jamais eu besoin moi ..

sandrine_guillerme
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par sandrine_guillerme » 20 Mai 2007, 04:16

C'est un lemme du thm de Cayley hamilton..

Donc bon en gros il sert pas à grand chose ce polynome minimal .. surtout ici

Rafar
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par Rafar » 20 Mai 2007, 10:50

sandrine_guillerme a écrit:
Donc bon en gros il sert pas à grand chose ce polynôme minimal .. surtout ici


Faut pas dire ça, quand ta matrice n'est pas diagonalisable mais seulement trigonalisable, le polynome minimal te fournit la taille du plus gros bloc de Jordan associé à chaque valeur propre.

Par exemple si tu as une matrice 3 x 3 dont le polynôme minimal est tu sais que la plus "jolie" forme que tu puisses obtenir pour ta matrice est (un bloc de Jordan de taille 1 x 1 et un bloc de Jordan de taille 2 x 2)


si ton polynôme minimal est tu sais que la plus "jolie" forme que tu puisses obtenir pour ta matrice est (un bloc de Jordan de taille 3 x 3)


Si tu as une matrice 4 x 4 dont le polynôme minimal est tu sais que la plus "jolie" forme que tu puisses obtenir pour ta matrice est (deux blocs de Jordan de taille 2 x 2) ou bien (deux blocs de Jordan de taille 1 x 1 un bloc de Jordan de taille 2 x 2)

si ton polynôme minimal est tu sais que la plus "jolie" forme que tu puisses obtenir pour ta matrice est (un bloc de Jordan de taille 1 x 1 et un bloc de Jordan de taille 3 x 3)


Maintenant si tu as une matrice 5 x 5 dont le polynôme minimal est tu sais que la plus "jolie" forme que tu puisses obtenir pour ta matrice est (deux blocs de Jordan de taille 1 x 1 et un bloc de Jordan de taille 3 x 3)
ou bien (un bloc de Jordan de taille 2 x 2 et un bloc de Jordan de taille 3 x 3)

etc...

Il y a sans doute d'autres applications que je n'ai pas en tête parce que je ne suis pas encore assez caféïné ou pas assez savant...

cesar
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par cesar » 20 Mai 2007, 10:59

sandrine_guillerme a écrit:Alors,

D'autre utilité?

Je dis ça parceque le prof de cours n'arrêtais pas de dire Quel beau polynome il sert à plein de chose, je ne sais pas mais je trouve le pol car beaucoup plus puissant


sert à plein de trucs ? par exemple, tu peux calculer l'inverse d'une matrice directement (ou de l'endo, si en dim infini) : si le terme de degré O n'est pas nul. ex : a*M^2 + b*M + I = 0 alors I = -M*(a*M+b*I) = M*M^(-1)..
tu peux aussi calculer M^n, en fonction d'un polynome de degré fixé,avec n entier et du meme coup, tu peux determiner toutes les fonctions developpable n serie entiere (exp(M), sin(M), etc...), qui existent des que la serie converge....je pense qu'il y en a d'autres...

yos
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par yos » 20 Mai 2007, 11:17

sandrine_guillerme a écrit: (en rapport avec la réduction de jordan, pas de Dunford c'est hors programme)

Dunford est une étape sur le chemin de Jordan (au 2/3 du chemin environ).

fahr451
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par fahr451 » 20 Mai 2007, 12:18

il faut je crois distinguer les problèmes où on utilise un polynôme annulateur quelconque (scindé, scindé à racines simples par exemple) et celles où on a besoin vraiment du polynôme minimal

les invariants de similitude font partie des problèmes du deuxième type

regarde sur wikipedia , un rapide survol me fait dire que c'est bien fait

sandrine_guillerme
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par sandrine_guillerme » 24 Mai 2007, 17:17

Bonjour

j'ai vu sur wikipédia, c'est vraiment bien fait !

et donc oui, fahr c'est exactement ça que je veux,
c'est à dire mis à part le polynôme caractéristique j'aimerais savoir s'il y a encore d'autre utilités du polynôme minimal qu'on peut pas vérifier via le polynôme caractéristique !

Merci bien..

abcd22
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par abcd22 » 25 Mai 2007, 13:26

Ben le polynome minimal de A engendre l'ideal annulateur de A (c'est la definition pour moi) et quoi que tu en penses le polynome caracteristique ne verifie la plupart du temps pas cette propriete. Si on te donne un polynome P tel que P(A) = 0 tu peux en deduire que P est divisible par le polynome minimal, mais pas necessairement par le polynome caracteristique ! On sait par exemple qu'un endomorphisme Q(A) (avec Q polynome) est inversible si et seulement si Q est premier avec le polynome minimal de A.

Alpha
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par Alpha » 25 Mai 2007, 14:37

Salut, Sandrine,

une autre information qui ne concerne pas les endomorphismes mais qui peut être utile :

Si tu as un corps contenu dans un autre corps ,
si est un élément de qui est algébrique sur , on peut aussi parler de polynôme minimal de sur , et on voit très facilement qu'il est alors irréductible sur .

Concernant les endormorphismes en dimension finie, il existe aussi une notion de polynôme minimal d'un endomorphisme en un point, ie le générateur de l'idéal des polynômes tels que P(u)(a) = 0. On peut montrer que pour tout endomorphisme u, il existe un a dans E tel que le polynôme minimal de u est égal au polynôme minimal de u en a.

Cordialement :happy3:

 

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