Matrice, polynôme minimal et projection spectrale

[Julien9]

Bonjour à tous!

Je suis en train de faire un exercice sur le polynôme minimal d'une matrice je suis bloqué à une question.

Alors j'ai une matrice, j'ai calculé son polynôme minimal, j'ai fait la décomposition spectrale.
Cependant on me demande de determiner les matrices des projections. Je ne comprend pas la question, que faut il faire?

Merci à tous.

[ev85]

Je ne comprends pas la question, que faut il faire?

Moi non plus je ne comprends pas la question. Mais c'est normal, je n'ai pas l'énoncé.

[Julien9]

On me donne une matrice 3x3 complexe, j'ai trouvé 3 valeurs propres distinctes de multiplicité 1 chacune, j'ai calculer son polynôme minimal j'ai fait la décomposition spectrale:
Les ker(M-Lambda*I)
et maintenant la question est:
Déterminer les matrices des projections.

[Maxmau]

On me donne une matrice 3x3 complexe, j'ai trouvé 3 valeurs propres distinctes de multiplicité 1 chacune, j'ai calculer son polynôme minimal j'ai fait la décomposition spectrale:
Les ker(M-Lambda*I)
et maintenant la question est:
Déterminer les matrices des projections.

Bj
A ta matrice
L1 , L2, L3 étant les polynômes de lagrange associés aux 3 valeurs propres, L1(A),L2(A),L3(A) sont les matrices de projections associées à ta décomposition spectrale

[Julien9]

Merci de ta réponse, j'ai décomposé en éléments simples 1/ma(lambda)
en multipliant par ma(lambda) j'ai obtenu les PI1(lambda), PI2(lambda) et PI3(lambda) (ce sont les projecteurs spectraux)

comment obtenir les matrices des projections maintenant?

[Maxmau]

Merci de ta réponse, j'ai décomposé en éléments simples 1/ma(lambda)
en multipliant par ma(lambda) j'ai obtenu les PI1(lambda), PI2(lambda) et PI3(lambda) (ce sont les projecteurs spectraux)

comment obtenir les matrices des projections maintenant?

Il y a des choses que je ne comprends pas très bien ds tes questions.Je reprends:
Ta matrice A admet 3 vp distinctes: t1 , t2 , t3
le minimal de A est M(X) = (X-t1)(X-t2)(X-t3)
La décomposition en éléments simples de 1/M(X) multipliée ensuite par M(X)
fournit 3 polynômes L1(X),L2(X),L3(X) tq L1(X) + L2(X) + L3(X) = 1 ( ce sont les polynômes de lagrange associés à t1,t2,t3)
Comme tu appliques le théorème de décomposition spectrale à une matrice, L1(A),L2(A),L3(A) sont les matrices des projections que tu cherches

Si f est un endomorphisme de matrice A ( ds une certaine base), tu peux conclure que les endomorphismes L1(f),L2(f),L3(f) sont les projecteurs spectraux dont les matrices (matrices des projections) sont L1(A),L2(A),L3(A).