Polynome minimal

[busard_des_roseaux]

bonjour,

a propos , une question:

quel est le rapport entre un corps et ses éléments, et un nombre ?

on dit bien le "corps des nombres complexes". Est-ce qu'il y a des corps
totalement ordonnés qui ne servent pas de scalaires ?
(scala=mesure)

[ffpower]

Il sert à exister.

J ai éclaté de rire :ptdr:
( il m en faut peu )

[Ben314]

bonjour,

a propos , une question:

quel est le rapport entre un corps et ses éléments, et un nombre ?

on dit bien le "corps des nombres complexes". Est-ce qu'il y a des corps
totalement ordonnés qui ne servent pas de scalaires ?
(scala=mesure)

"Rappel" de cours :
Soir E un espace vectoriel sur un corps K (absolument quelconque et pas du tout forcément ordonné).
Les éléments de E seront dans la suite appelés des "vecteurs" et ceux de K des "scalaires"

En ce qui concerne le mot "nombre", pour moi, il peut désigner... un peu n'importe quoi en fonction du contexte (contrairement au mot "scalaire")
Il me s'emble (??) qu'éthimologiquement parlant, il y a du "numéré" derrière donc du "dénombrement" sauf que, déjà, les "nombres négatifs", pour ce qui est du "numéré", c'est pas trés clair.
Et je te parle pas des "nombres complexe" que je sais pas trop de quel "numéré" il peut s'agir....

[barbu23]

Bonjour : :happy3:
svp, j'ai une petite question un peu srupide à vous poser : :happy3:
On suppose que une extension du corps telle que est irréductible dans , et represente le polynome minimal de ! :happy3:
On suppose que , et donc tout élément classe d'équivalence de s'ecrit :
.
Je voudrais savoir à quel ensemble appartiennent les classes d'équivalences : ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[barbu23]

svp, un petit coup de main ! :happy3:

[Finrod]

.
Je voudrais savoir à quel ensemble appartiennent les classes d'équivalences : ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

On ne prend pas les classes d'équivalence des coeff.

A la limite, tu as



mais de là y trouver une utilité...

[barbu23]

D'accord ! Merci ! :happy3:
Bref : ! :happy3:

[barbu23]

svp, il y'a un autre truc que je ne comrpends pas bien : :happy3:
Soit : tel que : ,alors : , supposons : , c'est à dire : pour tout . Si est de caracteristique ,alors : .
Question :
Pourquoi si : est de caracteristique : , alors celà implique seulement que si n'est pas multiple de ! d'où
Merci d'avance ! :happy3:

[barbu23]

svp, il y'a un autre truc que je ne comrpends pas bien : :happy3:
Soit : tel que : ,alors : , supposons : , c'est à dire : pour tout . Si est de caracteristique ,alors : .
Question :
Pourquoi si : est de caracteristique : , alors celà implique seulement que si n'est pas multiple de ! d'où
Merci d'avance ! :happy3:

[Finrod]

P = \displaystyle \sum_{n=0}^{N} x_{n} X^{n} $[/TEX],alors : , supposons : , c'est à dire : pour tout . Si est de caracteristique ,alors : .

edit : j'ai mal lu, je refais

Alors tu obtiens toujours mais modulo p donc si p divise n, ça fait 0 sans condition sur et sinon il faut que p divise (car p premier donc divise l'un des deux)

[Ben314]

Salut, barbu,
Tu peut d'ailleurs vérifier que sur un corps fini de caractéristique p, le fait que P'=0 équivaut au fait que P=Q^p pour un certain polynôme Q.
Il me semble que c'est faux sur un corps infini (de caractéristique p), mais je ne suis pas totalement sûr... est-ce que quelqu'un sait ?

On en déduit par exemple que, si degré(P)<p, on a bien équivalence entre P=Constante et P'=0.

[Finrod]

On a toujours

Pourquoi cela ne marcherait pas pour un corps infini de carac p ?

[Ben314]

J'ai rien (re)écrit (donc j'y vais "de mémoire" et ma mémoire...)

Sauf erreur, sur un corps K de caractéristique p, le morphisme (de frobenius ?) x->x^p est systématiquement un morphisme de corps, donc injectif. Si K est fini, il est bijectif mais il me semble que pour K infini, il peut ne pas l'être

Si tu prend le poly. P(X)=aX^p (avec a dans K) et que tu veut montrer que P=Q^p pour un certain poly Q, il va bien faloir trouver une racine p-ième de a dans K, ce qui n'est pas forcément gagné si le morphisme ci dessus n'est pas bijectif.

P.S. Attention au fait que ce que je disait à barbu, ce n'est pas que P(X)=Q(X^p) pour un certain Q [ce qui est vrai même si K est infini] mais que P(X)=(Q(X))^p pour un certain Q...

P.S.2 : il me semble que (Q(X))^p=Q(X^p) est vrai dans mais pas dans pour k>1...

[Finrod]

Tu as raison je pense. Le polynôme n'a que p racines donc sur un corps plus grand que les nouveau élts ne vérifient pas .

[Doraki]

P' = 0 <=> P = Q(X^p), ok.

Si x est algébrique (sur Fp) alors on a un k tel que x^(p^k) = x : x^(p^(k-1)) est une racine p-ième de x.

Et plus généralement, sur un corps algébriquement clos, on a toujours que Frobenius est inversible.

Si K=Fp(X), ben le polynôme XY^p n'est pas un Q(Y)^p.

[Ben314]

Si K=Fp(X), ben le polynôme XY^p n'est pas un Q(Y)^p.

Car le frobénius n'est pas bijectif... (c'est ce qui me semblait)

[barbu23]

Ok ! Merci à vous tous pour vos réponse ! :happy3:

Il me semble que c'est faux sur un corps infini (de caractéristique p), mais je ne suis pas totalement sûr... est-ce que quelqu'un sait ?

Ben314 :happy3:
Peux - tu stp, me citer un exemple de corps infini de caracteristique ( A mon avis, ça n'existe pas ! si un corps est de caracteristique , alors il me semble qu'il ne contient que éléments au plus ! Est ce vrai, ce que je dis ? :happy3:

tu obtiens toujours mais modulo p donc si p divise n, ça fait 0 sans condition sur et sinon il faut que p divise (car p premier donc divise l'un des deux)

Finrod : :happy3:
Alors, si je comprends bien : : :happy3:
Soit un corps quelconque.
Soit un polynome qui n'admet pas de racines dans :
Si est de caracteristique , alors: si et seulement si : quelques soit
Si est de caracteristique , pourquoi : : si et seulement si : modulo quelques soit ?
Merci d'avance ! :happy3:
P.S : Merci pour les autres aussi pour leur reponses ! :happy3:
Je viendrai poster des remarques si jamais j'en aurai queluqes unes ! :happy3:

[Doraki]

Quelle est la caractéristique du corps {A,B,C,D} avec les lois + et * comme suit :

Code: Tout sélectionner

+|A B C D
----------
A|A B C D
B|B A D C
C|C D A B
D|D C B A

*|A B C D
----------
A|A A A A
B|A B C D
C|A C D B
D|A D B C


[Finrod]

Pour te dernière question, parceque on travaille modulo p donc tous les multiples de p sont congrus à zéro modulo p. On ne met pas les bare spécifiant l'appartenant à une classe d'équivalence car le corps n'a pas été définit par un quotient. Néanmoins, il se passe la même chose, i.e. (p premier).



Pour l'ex de corps infini de carac p, est pas mal. Il n'est certainement pas fini.

[barbu23]

Quelle est la caractéristique du corps {A,B,C,D} avec les lois + et * comme suit :

Code: Tout sélectionner

+|A B C D
----------
A|A B C D
B|B A D C
C|C D A B
D|D C B A

*|A B C D
----------
A|A A A A
B|A B C D
C|A C D B
D|A D B C


L' élément neutre de ton corps pour l'addition est : et tout element de ton corps verifie , donc la caracteristique est
On peut voir les choses de cette manière aussi : qui en est un de ses sous corps ,et la caracterisitique de est donc, la caracteristique de est evidemment ! Mais, est ce que ça repond à ma question ? :happy3: