Polynome minimal

[barbu23]

Bonsoir : :happy3:
J'ai besoin d'une petite reponse concernant le sujet suivant :
Soit le corps suivant : .
Quelle est la valeur de pour la quelle : est son polynome minimal ?
Merci d'avance !

[Ben314]

Salut barbu,
Sous quelle forme veux tu que l'on exprime ton (i.e. en fonction de quoi) ???
C'est une des quatres racines du polynôme....
C'est l'image de X par le morphisme cannonique de dans ...

[barbu23]

Bonjour Ben314 : :happy3:
Je ne sais pas ! c'est peut être ça mon problème ! Je suis complètement perdu ! :happy3:
Bref, pour , les racines de ce polynome ont plusieurs formes :
La première forme est de voir comme un polynome à coefficients dans ( même s'ils sont dans en réalité, c'est à dire, on finit par resoudre : comme si on est dans et donc ,les racines sont dans la plupart des cas des réels, c'est à dire , les peuvent être des rationnelles, comme elles peuvent être egalement des irrationnelles ou bien des complexes ! :happy3:
La deuxième forme est de voir comme un polynome à coefficients dans n'importe quel corps fini de type incluant : , et donc les racines de ne sont pas forcement des réels ou bien des complexes, mais dependent de la cyclicité de et donc, leur racines appartient à un corps fini de type
Donc, je ne comprends pas comment repondre à la question de depart en tenant compte des ces anomalies que je viens de citer dans ce dernier message ! :happy3:
Merci de votre aide ! :happy3:

[Doraki]

Soit le corps suivant : .

Comment tu sais qu'il est irréductible ?
(mais ouais je pense qu'il l'est et qu'il s'agit de F81)

Quelle est la valeur de pour la quelle : est son polynome minimal ?

Il y a 4 éléments de F81 qui ont ce polynôme minimal.

La première forme est de voir comme un polynome à coefficients dans ( même s'ils sont dans en réalité, c'est à dire, on finit par resoudre :

Non moi je propose d'étudier sqrt(19).X^4 + 12/7.X^3 +9/23.X² + 41/5.X + 101, c'est mieux.

[barbu23]

mais ouais je pense qu'il l'est et qu'il s'agit de

C'est quoi : ? il sert à quoi ? :happy3: Et comment tu le trouves ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[Doraki]

F81 est le seul corps fini à 81 éléments.
Il sert à exister.
Je trouve que comme X4-X+1 est irréductible (sur F3), F3[X]/(X4-X+1) est un anneau fini intègre, donc un corps, et comme il a 81 éléments bah il est isomorphe au seul corps fini à 81 éléments.

[barbu23]

F81 est le seul corps fini à 81 éléments.
Il sert à exister.
Je trouve que comme X4-X+1 est irréductible (sur F3), F3[X]/(X4-X+1) est un anneau fini intègre, donc un corps, et comme il a 81 éléments bah il est isomorphe au seul corps fini à 81 éléments.

Oui, je sais que c'est le corps fini à 81 éléments ! mais pourquoi soudain tu commences à parler de , et pourquoi tu choisis pas un autre ( par exemple : et tu choisis ) c'est pourquoi, j't'ai demandé à quoi il sert !
Tu vex dire que c'est le plus petit corps fini ou ils existe des racines pour le polynome ?
Je comprends pas trop ce que tu veux dire "Doraki" ! En fait, je ne suis pas trop habitué avec les corps fini ? sauf théoriquement ! c'est à dire, je connais un nombre de théorèmes mais ils sont inapliquable dans ce genre de situation ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[Doraki]

F3[X]/(X^4-X+1) est un F3-espace vectoriel ; une base est par exemple (1,X,X²,X^3). Donc c'est un espace vectoriel de dimension 4, et donc il a 3*3*3*3 = 81 éléments.
Donc comme il a 81 éléments c'est un corps à 81 éléments, ce n'est donc pas un corps à 49 éléments ni un corps impossible à 99 éléments.

[barbu23]

Ah d'accord, donc : est isomorphe à
Merci ! :happy3:

Il y a 4 éléments de F81 qui ont ce polynôme minimal.

Comment tu le sais ? Comment tu fais pour les trouver ? :happy3:
Tu ne testes pas un par un dans le polynome ? si non on va finir par passer toute la journée sans arriver au resultat final ! :zen: :happy3:

[Doraki]

Au hasard, je dirais que X, X^3, X^9, X^27, X^81 et X^243 sont tous racines du polynôme.

[barbu23]

Au hasard, je dirais que X, X^3, X^9, X^27, X^81 et X^243 sont tous racines du polynôme.

Oui, ils sont racines du polynome mais quel est leur equivalent dans ? Question de rafraichir ma memoire ! car j'ai oublié en partie comment passer de l'un vers l'autre et vice versa !
Merci infiniment ! :happy3:

[barbu23]

svp, un petit coup de main ! :happy3:

[Doraki]

C'est quoi un équivalent ? Passer de quoi à quoi ?

[barbu23]

Par exemple , tu dis est racine du polynome minimal ! quelle est l'image de dans par l"isomorphisme qui transforme en ?
Merci d'avance ! :happy3:

[Doraki]

Ben c'est le cube de l'image de X, nan ?

D'abord c'est quoi ton isomorphisme ? comment tu décris les éléments de F81 à l'arrivée ?

[barbu23]

Je ne sais pas ! :happy3:
Les elements de sont des classes d'équivalences qui s'ecrivent comme ça : avec : , par contre les elements de s'ecrivent : , avec : a pour polynome minimal : , donc ,l'isomorphisme est l'application qui laisse invariant les elements de , et qui transforme en , mais, je ne sais pa determiner !

[Doraki]

mais, je ne sais pa determiner !

Bah moi j'arrive pas à déterminer l'élément i dans C tel que i² = -1.
Tu peux m'aider ?

[barbu23]

Non là c'est different ! :happy3:
est dans , donc ,il est connu ! par contre, pour tel que , est "imaginaire" qui genere ! donc, est ce qu'il y'a une valeur dans qui verifie le polynome ? Aucune ? il doit y avoir une methode pour determiner cette valeur pour ! :happy3:

[Ben314]

Barbu,
La construction de (on peut aussi prendre un autre polynôme irréductible de degrés 4 sur ) est EXACTEMENT LA MEME que celle de (on peut aussi prendre un autre polynôme irréductible de degrés 2 sur )

[Doraki]

Si tu connais F81 bah c'est parfait t'as juste à prendre chaque élément et regarder s'il vérifie l'équation.
Et normalement t'en trouveras 4.

Sinon, i est imaginaire donc il n'est pas connu ? je comprends plus rien.