Polynôme minimal

[legeniedesalpages]

Bonsoir, je bloque sur cette question:

Soit un espace vectoriel de dimension finie sur un corps . Pour un endomorphisme de , on notera son polynôme minimal.

Montrer que pour tout , on a

.

Je ne vois pas comment montrer l'implication directe.

Merci pour votre aide.

[legeniedesalpages]

Bon pour l'implication directe:

si , on a donc ,

mais mais le polynôme annule , fonc d'où ,

donc .

Si , donc ne divise pas .

Après je vois pas pourquoi ne divise pas .

[ThSQ]

Bezout is your friend

[legeniedesalpages]

Bezout is your friend

ok je regarde ça, mais j'aurai plutôt pensé utiliser Bezout pour l'implication réciproque. :doh:

[ThSQ]

Une remarque au passage pgcd(P,Xf) != 1 c'est pas P divise Xf

[legeniedesalpages]

Une remarque au passage pgcd(P,Xf) != 1 c'est pas P divise Xf

tu veux dire le polynômes caractéristique, on doit s'en servir?

[ThSQ]

ok je regarde ça, mais j'aurai plutôt pensé utiliser Bezout pour l'implication réciproque. :doh:

Ah oui j'avais vu ta 2ème réponse (pourtant c'est assez habituel chez toi !)

: Si Q divise Xf et P alors je suis prêt à parier que Ker Q(f) (contenu dans Ker P(f)) est non nul

[legeniedesalpages]

Ah oui j'avais vu ta 2ème réponse (pourtant c'est assez habituel chez toi !)

: Si Q divise Xf et P alors je suis prêt à parier que Ker Q(f) (contenu dans Ker P(f)) est non nul

Mais Ker(P(f)) est réduit à zéro vu que P(f) est inversible, donc si Ker(Q(f)) est inclus dans Ker(P(f)), Ker(Q(f)) est réduit à zéro, non?

[ThSQ]

Mais Ker(P(f)) est réduit à zéro vu que P(f) est inversible, donc si Ker(Q(f)) est inclus dans Ker(P(f)), Ker(Q(f)) est réduit à zéro, non?

Oui donc contradiction

[legeniedesalpages]

Oui donc contradiction

je viens de comprendre, merci ThsQ, je regarde l'autre implication avec Bezout.

[legeniedesalpages]

mais comment tu le trouves cet élément non nul qui est dans Ker(Q(f))?

[ThSQ]

mais comment tu le trouves cet élément non nul qui est dans Ker(Q(f))?

Si "Q n'annule jamais f" on peut sérieusement se demander ce qu'il f*ut dans Xf :ruse:

[leon1789]

Bonsoir,

(...)
Montrer que pour tout , on a
.

La réciproque avec Bézout bien sûr :zen:

Le sens direct (sans absurde svp ) :
si Q divise P et , alors on écrit et . Comme , on a donc . Donc .

Or P(f) inversible donc B(f)=0, donc divise B. Or B divise donc Q=1.

[leon1789]

Dans un anneau principal (comme Z ou K[X]), un pgcd de A,B,C... , c'est essentiellement deux choses :
-1- un diviseur commun à A,B,C...
-2- un élément engendré par A,B,C, ...


Le point -1- sert dans le sens direct
Le point -2- sert dans le sens inverse

[legeniedesalpages]

oui c'est vrai, j'ai trouvé, merci leon1789