Polynome minimal

[dilzydils]

Bonjour

Soit A une matrice de Mn(R), P un polynome de degré r, annulant A.
Pourquoi est-ce que si que (I,A,A²,...,A^(r-1)) est libre alors P est le poly,ome de degré minimal annulant A??

Merci

[yos]

Le fait que 5I,A,...,A^r-1) est libre signifie qu'aucun polynôme de degré inférieur ou égal à r-1 n'annule A (définition d'une famille libre).
P est donc un polybôme de degré minimum qui annule A. Pour peu qu'il soit unitaire, c'est le polynôme minimal de A.

[dilzydils]

Ok merci yos

Pourquoi est-ce que si le polynome annulateur est minimal, alors Sp(A)=racines de ce polynome.
C OK pour l'inclusion directe, mais dans l'autre sens, j'arrive pas à prouver

[yos]

Le sens que tu connais : si k est valeur propre, alors P(k)=0.
L'autre sens : si P(k)=0, alors k est valeur propre. C'est une conséquence immédiate du théorème de décomposition des noyaux.