Polynôme minimal

[adamNIDO]

bonjour,


sil vus plait si quelqu'un pouvez vous me rappeler de la relation entre polynôme caractéristique et polynôme minimal d'une matrice diagonale et dans le cas d'une matrice diagonalisable


merci pour votre aide

[L.A.]

Bonsoir,

le théorème de Cayley-Hamilton affirme que le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur, donc divisible par le polynôme minimal, on montre aussi que tout diviseur irréductible du polynôme caractéristique divise le polynôme minimal.
C'est vrai pour toute matrice. Pour des matrices diagonalisables, on a en plus de ça un polynôme minimal scindé à racines simples.

[paquito]

Tu obtiens le polynôme caractéristique P(X) s'obtient en calculant dét(A-XI) et ce polynôme annule P(A); l'ensemble des polynômes Q qui annulent Q(A) est un idéal engendré par un polynôme P'.
C'est ce polynôme qui doit être scindé pour que A soit diagonalisable;
exemple simplissime:

pour : et