[MP] Polynôme minimal

[euler21]

Bonjour
Dans un problème il m'a été donné de démontrer que pour tout endomorphisme, si on a deux sous corps de C, K et L tels que alors où désigne bien sûr le polynôme minimal dans chaque corps respectif . Seulement je n'arrive pas à bien visualiser cette égalité, dans le sens où le polynôme minimal multiple des où les sont les valeurs propres dans chaque corps, et qui peuvent être différentes.
Quelqu'un peut m'expliquer ??

[Nightmare]

Salut,

si tu connais les invariants de similitude, c'est immédiat. Sinon, on a clairement donc il suffit de montrer qu'ils ont même degré. Mais le degré du polynôme minimal d'un endomorphisme u en dimension n est le rang de la famille (Id,u,...u^n²) dont le calcule ne dépend pas du corps de base.

[euler21]

Salut
Euh je pense plutôt que c'est le contraire qu'on a: c'est qui divise

[Nightmare]

Oups oui, je croyais avoir lu

[euler21]

Sinon pour le rang, comment on peut démontrer qu'il est indépendant du corps dans lequel on travaille ??

[Doraki]

u c'est quoi ? pourquoi est-ce que le polynôme minimal de u sur le corps K ou L a une raison d'exister ?

(si je prends E = C, u(x) = e*x, et K = Q, bah y'a aucun polynôme sur Q qui annule u)