Polynôme minimal

par **vysy** » 13 Fév 2010, 11:43

[FONT=Comic Sans MS]Re-bonjour,

j'ai une autre question :la proposition suivante est-elle vraie ?
"Soit

inclu dans

deux corps de caractéristique nulle.
Le polynôme minimal de la matrice M sur

,

et le polynôme minimal de la matrice M sur

,

sont égaux."

contre ex : sur

, un polynôme minimal peut être selon moi de la forme :

mais sur

celui-ci devient :

donc différents.

A moins que mon exemple de polynôme minimal sur

:

n'est tout simplement pas possible?...

merci[/FONT]

par **vysy** » 13 Fév 2010, 14:24

pas d'idée??

par **ffpower** » 13 Fév 2010, 14:30

Oui, ils sont égaux si je ne me trompe pas..L argument que j ai en tete en 1ere approche n est pas trivial, mais ya probablement un argument simple..

par **Finrod** » 13 Fév 2010, 14:36

Un polynôme minimal est censé être irréductible non ?

par **vysy** » 13 Fév 2010, 14:44

[FONT=Comic Sans MS]??non il n'est pas irréductible,je ne vois pas pourquoi tu dis ça[/FONT]

par **Finrod** » 13 Fév 2010, 14:50

Ben parce qu'il est minimal.

Il me semble que c'est par définition.

évidemment, il doit être irréductible sur le corps de départ, par sur celui d'arrivé.

Par ex pour C=R[i], le polynome minimal est

irréductible sur R mais pas sur C.

par **Finrod** » 13 Fév 2010, 14:51

oh mais peut être que tu ne parlais pas d'extensions de corps tout compte fait.

Je parlais donc d'une autre notion de polynome minimal.

Edit : Je comprend donc enfin ta question. Les deux polynômes que tu donne en contre exemple sont bien égaux.

par **ffpower** » 13 Fév 2010, 14:53

Ya une matrice dans son énoncé ;)

par **vysy** » 13 Fév 2010, 14:56

ben L est bien une extension de corps de K

par **Finrod** » 13 Fév 2010, 15:03

exact mais tu ne considères pas son polynôme minimal, tu regardes celui de la matrice.

c'est traître, les deux n'ont rien à voir.

Je pense que ce truc marche toujours avec R et C. Je vois mal comment trouver un contre exemple en carac nulle. Et si c'est vrai, la preuve doit pas être totalement triviale.

par **alavacommejetepousse** » 13 Fév 2010, 17:41

sur R et C

M la matrice réelle P son polynôme minimal réel
H son polynôme minimal complexs tous deux unitaires

comme P est aussi complexe H divise P

on a H (M) = 0 = H1(M) +iH2(M) H1 , H2 réels

d'où H1(M) = 0 = H2(M) donc P divise H1 et H2 donc P divise H dans C

d'où l égalité H = P

la preuve se généralise avec K et L , L surcorps de K en prenant une base (supposée finie) de L comme K ev

Polynôme minimal

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