Polynôme minimal

par **vysy** » 11 Fév 2010, 15:18

[FONT=Comic Sans MS]Bonjour,
une petite question : soit une matrice A dans

si son polynôme caractéristique est :

avec

un polynôme scindé dans R[X].
est-ce que le polynôme minimal pourrait contenir comme facteur

??
je pense que oui...?[/FONT]

par **barbu23** » 11 Fév 2010, 16:16

Oui, parceque le polynome minimla divise la polynome caracteristique ! :happy3:

par **vysy** » 11 Fév 2010, 16:19

dacodac !

par **alavacommejetepousse** » 11 Fév 2010, 16:50

bonjour

est-ce "pourrait" ou "devra"?

les vp complexes de A étant exactement les racines du polynôme caractéristique i et -i le sont , les racines du polynôme minimal étant exactement les vp complexes on aura (X-i)(X+i) dans sa décomposition
donc c 'est bien "devra"

par **vysy** » 11 Fév 2010, 16:54

[FONT=Comic Sans MS]en fait je ne sais pas trop si (X²+1) doit être un facteur du polynôme minimal...
En effet, le polynôme minimal a les mêmes racines que le caractéristique mais i et -i ne sont pas racines du caractéristique car on est dans R[X]...Qu'en pensez-vous??[/FONT]

par **alavacommejetepousse** » 11 Fév 2010, 16:58

exactement ce que je viens d écrire: on passe dans C donc i et -i sont vp complexes donc (X-i)(X+i) est dans la décomposition du polynôme minimal dans C donc X^2 +1 dans la décomposition dans R.

par **vysy** » 11 Fév 2010, 17:05

[FONT=Comic Sans MS]je ne sais pas trop si on a le droit de "repasser" dans R[X](ta dernière étape) pour le polynôme minimal...[/FONT]

par **alavacommejetepousse** » 11 Fév 2010, 17:09

ben

appelle P le polynôme minimal sur C et H celui sur R (si tu les penses différents)
H étant annulateur de A et étant aussi dans C[X] H est multiple de P
donc admet aussi i et -i comme racines complexes

par **vysy** » 11 Fév 2010, 17:25

[FONT=Comic Sans MS]oui en fait c'est d'accord !merci bien[/FONT]

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