Soit :
Pour :
On a :
Les conjugués de
Je voudrai savoir pourquoi :
chacune de ces conjugués est repetée :
Pourquoi :
Merci d'avance ! :happy3:
Polynome minimal
20 messages
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Polynome minimal
par barbu23 » 08 Fév 2010, 12:05
Bonjour à tous : :happy3:
Soit :
un corps et 
une extension séparable finie sur , tel que : 
.
Pour :
, on pose : 
les conjugués de 
.
On a :
 = x_1 + ... + a_n $)
( la trace )
 = x_1 . ... . x_n $)
( la norme )
(X) = (X-x_1 ) ... (X - x_n ) $)
( le polnome caracteristique )
Les conjugués de
sont les racines du polynomes minimal de sur .
Je voudrai savoir pourquoi :
chacune de ces conjugués est repetée : ] $)
et le polynome : }(x)(X) $)
est le polynome minimal de sur .
Pourquoi :
 = [L:K(x)].\mathrm{Tr}_{K(x)|K}(x) $)
 = N_{K(x)/K}(x))^{[L:K(x)]} $)
(X) = ( P_{K(x)/K}(x)(X) )^{[L:K(x)]} $)
Merci d'avance ! :happy3:
Soit :
Pour :
On a :
Les conjugués de
Je voudrai savoir pourquoi :
chacune de ces conjugués est repetée :
Pourquoi :
Merci d'avance ! :happy3:
par barbu23 » 08 Fév 2010, 12:20
Pour que vous comprenez d'où viennent ces notions :
Les voiçi en toute généralité :
Soient :
deux anneaux. ( 
est un 
- module libre de type fini sur ).
Soit :
:
On pose :
 : B \longrightarrow B $$)
telle que :
(b) = xb $$)
Par définition :
 = \mathrm{Tr} (\tau(x) ) $$)
 = \det ( \tau(x) ) $$)
(X) = \det ( \tau(x) - X. \mathrm{id} ) $$)
On considère ici : $)
comme une application :  :A^{n} \longrightarrow A^{n} $)
car : 
.
Les voiçi en toute généralité :
Soient :
Soit :
On pose :
telle que :
Par définition :
On considère ici :
par barbu23 » 08 Fév 2010, 12:32
On fait comment pour l'autre égalité ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:
par yos » 08 Fév 2010, 12:50
barbu23 a écrit:
Dans le cas séparable, le polynôme minimal n'a que des racines simples donc la dernière formule me semble fausse.
La trace et la norme de x peuvent s'interpréter comme la trace et le déterminant de l'endomorphisme
par barbu23 » 08 Fév 2010, 12:53
Yos : Elle correpond à quel cas, la dernière formule ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:
par Ben314 » 08 Fév 2010, 13:35
Je pense que tu t'embrouille un peu les pinceaux :
ait 
conjuqués...
Donc, comme définition de la trace, de la norme, du "polynôme caractéristique" de l'élément x, il me semble que l'on doit prendre ce que te dit yos (i.e. la trace, le dét. et le poly_car. de l'endomorphisme phi_x : L->L ; y->xy).
Aprés, tu peut regarder quelles sont les racines du "polynôme caractéristique" (dans une cloture algébrique, car ces racines ne sont pas forcément dans L). Là, il y en a effectivement forcément n et, si tu les appelles x1,x2,...,xn, les formules que tu donne comme définition deviennent (évidement) vraies.
Tu peut alors chercher le lien qu'il y entre x1,x2,...xn et les conjuqués de x, c'est à dire les racines du plus petit poly. à coeff dans K qui annulle x (qui elles non plus ne sont pas forcément dans L).
Sauf erreur, on peut aussi montrer que le polynôme minimal de l'endomorphisme phi_x est en fait... (je te laisse deviner !!)
Il n'y a absolument aucune raison quebarbu23 a écrit:...
Donc, comme définition de la trace, de la norme, du "polynôme caractéristique" de l'élément x, il me semble que l'on doit prendre ce que te dit yos (i.e. la trace, le dét. et le poly_car. de l'endomorphisme phi_x : L->L ; y->xy).
Aprés, tu peut regarder quelles sont les racines du "polynôme caractéristique" (dans une cloture algébrique, car ces racines ne sont pas forcément dans L). Là, il y en a effectivement forcément n et, si tu les appelles x1,x2,...,xn, les formules que tu donne comme définition deviennent (évidement) vraies.
Tu peut alors chercher le lien qu'il y entre x1,x2,...xn et les conjuqués de x, c'est à dire les racines du plus petit poly. à coeff dans K qui annulle x (qui elles non plus ne sont pas forcément dans L).
Sauf erreur, on peut aussi montrer que le polynôme minimal de l'endomorphisme phi_x est en fait... (je te laisse deviner !!)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 08 Fév 2010, 14:19
Bon, j'essaye de "mettre les trucs à plat" :
un corps, une extension séparable finie sur 
, , 
(endomorphisme).
On défini : =\mathrm{Tr}(\phi_x))
,  =\det (\phi_x))
et (X) =\det(\phi_x-X.\mathrm{Id}_L))
Dans le cas où))
où )
est le polynôme minimal de (i.e. le plus petit polynôme unitaire de 
qui annule , à ne pas confondre pour le moment avec le polynôme minimal de 
), on constate que la matrice de dans la base 
de 
(où =[K[x],K])
) est la matrice companion du polynôme .
On en déduit que, si
on a :
 =x_1+x_2+...+x_d)
,  =x_1x_2...x_d)
et (X) =(X-x_1)(X-x_2)...(X-X_d)=\Pi(X))
où
sont les conjugués de , c'est à dire les racines de (qui ne sont à priori pas dans 
)
On en déduit aussi que, dans ce cas, le polynôme minimal de l'endomorphisme est
Dans le cas général, on a
et en considérant une base 
de 
en temp que espace vectoriel (où 
) on constate que le 
-endomorphisme (de dans ) laisse globalement invariants les sous-espaces vectoriels 
et on en déduit que :
 =m(x_1+x_2+...+x_d))
,  =(x_1x_2...x_d)^m)
et (X) =[(X-x_1)(X-x_2)...(X-X_d)]^m=\Pi(X)^m)
Le polynôme minimal de l'endomorphisme (de L dans L) est encore (ouf !)
Compte tenu du fait que
, tu devrait retrouver tout tes résultats...
On défini :
Dans le cas où
On en déduit que, si
où
On en déduit aussi que, dans ce cas, le polynôme minimal de l'endomorphisme
Dans le cas général, on a
Le polynôme minimal de l'endomorphisme
Compte tenu du fait que
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par barbu23 » 08 Fév 2010, 14:31
Ben314 a écrit:Bon, j'essaye de "mettre les trucs à plat" :
On défini :
Dans le cas oùdans la base
(où
) est la matrice companion du polynôme
On en déduit que, sion a :
où
Dans le cas général, on aet en considérant une base
et on en déduit que :
Compte tenu du fait que
N'y'a-t-il pas d'erreurs dans ce que tu écris Ben314 dans ton dernier message ! ( je les ai souligné en rouge çi dessus ) :happy3:
ça veut dire quoi, matrice compagnon du polynome
MErci d'avance ! :happy3:
par barbu23 » 08 Fév 2010, 14:37
Ben314 a écrit:
Dans le cas où
.
ça veut dire quoi ce passage çi dessus ? je ne comprends pas ce que tu sous entends par matrice compagnon de
par Ben314 » 08 Fév 2010, 14:47
Il y avait effectivement des fautes de frappe que j'ai corrigé (il en reste ?)
Pour la matrice compagnon d'un polynôme, regarde sur Wikipédia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_compagnon
L'idée est trés simple. On veut, partant d'un polynôme P fabriquer une matrice dont le polynôme caractéristique et le polynôme minimal soient égaux à P...
Pour la matrice compagnon d'un polynôme, regarde sur Wikipédia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_compagnon
L'idée est trés simple. On veut, partant d'un polynôme P fabriquer une matrice dont le polynôme caractéristique et le polynôme minimal soient égaux à P...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par barbu23 » 08 Fév 2010, 15:05
Merci pour ces precisions Ben314 : :happy3:
Je ne comprends pas non plus ce passage qui n'est pas evideent du tout pour moi !
, c'est ça ? avec : muni de la base : 
?
mais, c'est quoi :
? :hum:
si
a pour matrice la matrice compagnon de 
, alors :
 = x$)
 = x^2 $)
...
 = x^{k} $)
...
 = -a_0 - a_1 x - ... - a_{n-1} x^{n-1} $)
MErci d'avance ! :happy3:
Je ne comprends pas non plus ce passage qui n'est pas evideent du tout pour moi !
on constate que la matrice de
mais, c'est quoi :
si
...
...
MErci d'avance ! :happy3:
par yos » 08 Fév 2010, 15:30
par Ben314 » 08 Fév 2010, 15:45
Effectivement, mais BARBU a raison dans le sens qu'il y avait (encore) une faute de frappe dans mon post entre \phi et \varphi...(je la rectifie)yos a écrit:
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par barbu23 » 08 Fév 2010, 18:17
Ok, merci pour tout ce que vous m'avez écrit là "Ben314" et "yos" ! :happy3:
@Ben314 : :happy3:
Je ne comprends pas bien ce qui est ecrit en gras çi dessus :
Soit :
,alors : 
avec :  \in k[x]^{m} $)
, alors :  = a_1 \phi_{x}(b_{1}) + a_2 \phi_{x}(b_{2}) + ... + a_m \phi_{x}(b_{m}) = a_1 \phi_{x}(1) + a_2 \phi_{x}(b_{2}) + ... + a_m \phi_{x}(b_{m}) $)
Alors, là, tu dis que :
est un 
- endomorphisme, ça veut dire que :  = 1 $)
, or ce n'est pas vrai, car : de manière générale :  = xy $)
et donc,  = x \neq 1 $)
! :happy3:
Donc, tu voulais dire que : est un 
- endomorphisme et non un - endomorhisme ! vrai ou non ? :happy3:
Je ne comprends pas non plus comment tu fais pour deduire ce resultat :
Merci d'avance ! :happy3:
Ben314 a écrit:
Dans le cas général, on a
@Ben314 : :happy3:
Je ne comprends pas bien ce qui est ecrit en gras çi dessus :
Soit :
Alors, là, tu dis que :
Donc, tu voulais dire que :
Je ne comprends pas non plus comment tu fais pour deduire ce resultat :
Ben314 a écrit: on en déduit que :
Merci d'avance ! :happy3:
par Ben314 » 08 Fév 2010, 19:07
J'ai pas trop le temps, mais si par exemple tu regarde la matrice de dans la base formée de 
tu constate que c'est une matrice "bloc" qui contient m fois la matrice du cas où L=K[x] et tu en déduit tout ce que tu veux (poli_car, poly_min, trace, determinant)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par barbu23 » 08 Fév 2010, 19:29
Est ce que c'est une matrice par blocs , ou bien une matrice par blocs diagonale ? :happy3:
La matrice de s'écrit -t-elle comme ça : :happy3:
 \\ = \\ b_{1}x^{0} \ \ b_{1}x^{1} \ \ ... \ \ b_{1}x^{d-1} \ \ \ b_{2}x^{0} \ \ b_{2}x^{1} \ \ ... \ \ b_{2}x^{d-1} \ \ \ ... \ ... \ ... \ \ \ b_{m}x^{0} \ \ b_{m}x^{1} \ \ ... \ \ b_{m}x^{d-1} \\ <br />\begin{pmatrix} <br /> . & . &. & . &. &. & . & . & . & . & . &.& . & \\<br /> . & . &. & . &. &. & . & . & . & . & . &.& . & \\<br /> . & . &. & . &. &. & . & . & . & . & . &.& . & \\<br /> \vdots \\<br /> . & . &. & . &. &. & . & . & . & . & . &.& . & \\ <br />\end{pmatrix} $$)
Merci d'avance ! :happy3:
La matrice de
Merci d'avance ! :happy3:
par barbu23 » 08 Fév 2010, 19:44
Ben314 a écrit:
Dans le cas général, on a
Le polynôme minimal de l'endomorphisme
Maintenant , je comprends pourquoi tu dis que :
c'est ce que je voulais te dire dans le post avant celui là : la matrice associée à
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