Polynome minimal et forme de jordan

[Rolan222]

bonjour a tous et a toutes , alors apres plusieurs recherches je n'arrive toujours pas a comprendre le lien entre forme de jordan et le polynome minimal... prenons l'exemple du polynome caracteristique P(X)= -(X-1)^3(X+3)
avec la vap 1 de dimension 2 et Pm(X)=(X-1)^2(X+3) on a alors la matrice sous forme de jordan tel que
T= 1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 -3
mais je ne vois pas pourquoi on pourrait échanger la premiere colonne avec la derniere ce serait pareil non ?

[GaBuZoMeu]

Ta forme de Jordan donne le polynôme minimal : .

Mais quelle est exactement ta question ?

[Rolan222]

on peut echanger la premiere colonne de la matrice (T que j'ai ecrite) avec la derniere qu'elle correspondrait toujrs a une bonne forme de jordan par rapport au polynome minimal ?

[pascal16]

c'est le ^3 devenu ^2 qui change, le signe '-' lui ne change pas les valeurs des racines

le polynôme caractéristique est toujours du degré de la taille de la matrice, pas le minimal (il le divise)

[GaBuZoMeu]

Je ne comprends pas : si tu échanges la première et la dernière colonne, la matrice n'est plus sous forme réduite de Jordan.

Tu veux peut-être dire si on fait un changement de base en échangeant le premier et le dernier vecteur de la base, que se passe-t-il ? Eh bien la non plus, la nouvelle matrice n'est pas sous forme réduite de Jordan.

On peut par contre changer la base en . Là oui, la nouvelle matrice sera toujours sous forme de Jordan. On aura juste permuté les blocs de Jordan de la diagonale.

Ce qui compte dans la matrice, c'est qu'elle a un bloc de Jordan associé à la valeur propre 1 de taille 2, un autre bloc associé à la valeur propre 1 de taille 1, et un bloc associé à la valeur propre de taille 1.

[Rolan222]

merci gabuzomeu je viens de comprendre

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.