Bonjour,
J'ai une difficulté à résoudre cet exercice et j'ai besoin d'aide s'il vous plait , l'ennocé de l'exercice est comme suit:
P1=X-2
Pour tout n supérieur ou égale à 1: Pn+1=Pn^2-2
Calculer le coefficient de X^2 dans Pn.
Merci.☺
Polynome exercice
7 messages
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Re: Polynome exercice
par chan79 » 16 Déc 2018, 16:58
Bonjour
Commence par nous montrer ce que tu as fait ou essayé.
Commence par nous montrer ce que tu as fait ou essayé.
Re: Polynome exercice
par kenza18saad » 16 Déc 2018, 17:53
J'ai posé pn(x)=a(n)+b(n)X+c(n)X^2+...+£(n)X^n
Puis j'ai pris pour n=1 j'ai trouvé les valeurs de a ,b et c et je dois trouver c(n )en foction de n, le problème c'est lorsque j'utilise la réccurence je ne trouve pas la relation entre Pn et Pn+1.
Merci
Puis j'ai pris pour n=1 j'ai trouvé les valeurs de a ,b et c et je dois trouver c(n )en foction de n, le problème c'est lorsque j'utilise la réccurence je ne trouve pas la relation entre Pn et Pn+1.
Merci
Re: Polynome exercice
par Sa Majesté » 16 Déc 2018, 20:50
Dans ce genre d'exercice, tu peux commencer par trouver P1, P2, P3, ... pour te donner une idée.
Tu verras que tu n'es pas obligé de calculer les termes des puissances au-delà de 3.
Il est suffisant de calculer les termes des puissances 0, 1 et 2.
Tu verras que tu n'es pas obligé de calculer les termes des puissances au-delà de 3.
Il est suffisant de calculer les termes des puissances 0, 1 et 2.
Re: Polynome exercice
par chan79 » 17 Déc 2018, 07:14
tu peux montrer que a(n)=2 dès que n>=2
puis tu exprimes b(n) en fonction de n
puis tu montres que c(n)=(4^(2n-2)-4^(n-1))/12
tu obtiens la suite suivante pour les coefficients de x²:
0, 1, 20, 336, 5440, 87296, ...
je mets des détails:
=-2+1x)
=2+(-4)x+1x^2)
=2+(-4^2)x+(4+4^2)x^2+...)
=2+(-4^3)x+(4^2+4^3+4^4)^2+...)
=2+(-4^4)x+(4^3+4^4+4^5+4^6)x^2+...)
On peut donc conjecturer que le coefficient de
est
=4^{n-2}+4^{n-1}+4^n+ ... + 4^{2n-4})
(somme de 
termes)
=(1+4+4^2+4^3 +... +4^{2n-4})-(1+4+4^2+4^3+ ... +4^{n-3}))
soit
=\frac{1-4^{2n-3}}{1-4}-\frac{1-4^{n-2}}{1-4}=\frac{4^{2n-3}-4^{n-2}}{3})
soit
C(n)=
ou encore
C(n)=
On termine par une récurrence pour valider cette conjecture
puis tu exprimes b(n) en fonction de n
puis tu montres que c(n)=(4^(2n-2)-4^(n-1))/12
tu obtiens la suite suivante pour les coefficients de x²:
0, 1, 20, 336, 5440, 87296, ...
je mets des détails:
On peut donc conjecturer que le coefficient de
soit
soit
C(n)=
ou encore
C(n)=
On termine par une récurrence pour valider cette conjecture
Re: Polynome exercice
par kenza18saad » 17 Déc 2018, 12:10
Je vous remercie beaucoup, j'ai bien compris . 
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