Polynome et complexes

[wserdx]

Suppose qu'il existe 2 polynômes tels que , alors leurs coefficients sont égaux, or les coefficients de sont où sont les coefficients de . De même pour . Donc et ont les mêmes coefficients, donc .

Pour : que valent et ?
Que vaut ?

[wserdx]

Bonsoir à tous les deux. J'ai un problème à savoir comment montrer qu'il existe un unique polynome.

Désolé, je n'avais pas vu ta question.
Deux polynômes sont égaux si set seulement si ils ont les mêmes coefficients.

[Rockleader]

Suppose qu'il existe 2 polynômes tels que , alors leurs coefficients sont égaux, or les coefficients de sont où sont les coefficients de . De même pour . Donc et ont les mêmes coefficients, donc .

Pour : que valent et ?
Que vaut ?

1/3
S(X) = R(X)R(jX)R(j²X) +
S(jX) = R(jX)R(j²X)R(j^3X) +
S(j²X) = R(j²X)R(j^3X)R(j^4X)

= 1/3 [6R(X)] = 3R(X)

Puisque j^3k = 3 et j^3k + (1 ou 2) = 0


EDIT: non c'est faux...je sais pas ce que fait la somme...

[wserdx]

Je m'en doutais. Reprends la définition de et calcule , et
(place ces valeurs sur un plan complexe : c'est à dire 0 au centre, 1 et i comme repère orthonormé,
aide-toi du cercle de centre 0 et de rayon 1)

[Rockleader]

Je m'en doutais. Reprends la définition de et calcule , et
(place ces valeurs sur un plan complexe : c'est à dire 0 au centre, 1 et i comme repère orthonormé,
aide-toi du cercle de centre 0 et de rayon 1)

j=e^2ipi/3 = cos(2pi/3) + isin(2pi/3) = -1/2 + iV3/2

j² = e^4ipi/3 = e^-2pi/3 = cos(-2pi/3) + i sin(-2pi/3) = -1/2-+i V3/2

j^3 = e^6pi/3 = e^2pi = 1

j^4 = e^8pi/3 =e^2pi/3

Donc 3 reste possible

Si j^n avec n=3k, alors 1
si n=3k +1 alors -1/2 +iV3/2
si n=3k+2 alors -1/2 -iV3/2

Donc c'est légèrement plus complexe à additioner mais c'est faisable.

[wserdx]

Je pense que tu as maintenant remarqué que 1 et sont les trois racines cubiques de 1.
Tu peux donc écrire des égalités comme

etc.

Revois donc maintenant le calcul de et .

[Rockleader]

S(X) = R(X)R(jX)R(j²X)

S(jX) = R(jX)R(j²X)R(j^3X)= R(-1/2 +iV3/2 X)R(-1/2 -iV3/2)R(X)

S(j²X) = R(j²X)R(j^3X)R(j^4X) = R(-1/2 -iV3/2)R(X)R(-1/2 +iV3/2)

On remarque que S(jX)=S(j²X)

Est ce que cela me permet de dire que T(X) = S(X) ?

[Doraki]

Soit R un polynome a coefficient complexes. On pose
S(X) = R(X)R(jX)R(j2X) :
Montrer qu'il existe un unique polynome T tel que
T(X^3) = S(X).

On remarque que S = 3Q(X^3)

Je veux pas savoir comment tu peux remarquer que S est égal à un polynôme qui n'a aucun rapport ni avec R ni avec S.

On remarque que S(jX)=S(j²X)
Est ce que cela me permet de dire que T(X) = S(X) ?

Donc tu penses que si T(X^3) = S(X) et que S(jX) = S(j²X) alors T(X) = S(X) ?


A quoi ressemblent les polynômes S qui s'écrivent sous la forme S(X) = T(X^3) pour un polynome T ?
Tu peux dire quoi sur certains de ses coefficients ?

[wserdx]

Je t'ai proposé de calculer les différentes puissances de pour que tu puisses te rendre compte à quoi il ressemble, notamment en le situant dans le plan complexe.
J'ai essayé de te recentrer en te proposant les relations

Recommence le calcul de et en n'utilisant que ces relations.

[Rockleader]

S(jX) = R(jX)R(j²X)R(j^3X)
R(X) : bo + b1X +b2X²+...+bkX^k
avec R(jX) de la forme : bo + b1jX + b2j²X² + b3X^3+ b4jX^4

R(jX) est donc la somme de bkj^kX^k

R(j²X) : bo + b1j²X + b2jX² +b3X^3 +...+bkj^kX^k


La multiplication donnerait

S(jX) : bo^3 +b1X^3(j^3) + b2X^6(j^3) + ... + bkX^3k(j^3n)

[Doraki]

La multiplication donnerait
S(jX) : bo^3 +b1X^3(j^3) + b2X^6(j^3) + ... + bkX^3k(j^3n)

Tu veux bien expliquer ton calcul ?

[wserdx]

argh, ne touche pas à R, laisse le tel quel.

[Rockleader]

argh, ne touche pas à R, laisse le tel quel.

S(X)= R(X)R(jX)R(j²X)

S(jX) = R(jX)R(j²X)R(X)

S(j²X) = R(j²X)R(X)R(jX)


S = Sj = Sj²

La somme c'est donc 3S, et divisé par 3 c'est S

[wserdx]

ouf! bon utilise les résultats précédents

[Rockleader]

Je ne vois pas lesquels =)

[wserdx]

relis les questions précédentes et essaie de résumer ce que tu as démontré jusqu'à présent.
vois ce qui peut t'être utile pour cette question!

[Rockleader]

relis les questions précédentes et essaie de résumer ce que tu as démontré jusqu'à présent.
vois ce qui peut t'être utile pour cette question!

Ah mais bien sur, on a montré la même condition pour S que l'on avait pour A.

Il existe donc un unique polynome polynome tel que S(X) = T(X^3)

[juju33270]

Par contre comment tu fais pour démontrer l'unicité de B quand B(X^3)=A(X)?

[Rockleader]

Dernière question, sans trop de rapport, mais pour dériver un polynome qui content une factrielle, ça se passe comment


Si on a par exemple

X^n / n!

On fait la dérivé d'un quotient avec la formule du (u/v)' = u'v-uv' / v²

Mais est ce que la dérivé de n! est bien nulle ?

sa fairait donc

nX^(n-1) n! /(n!)²

[wserdx]

Quand on parle d'une dérivée, c'est implicitement par rapport à une variable ou une indéterminée.
Tout ce qui n'est pas cette variable est constant. Tire-s-en les conséquences...