Polynome et complexes

par **Rockleader** » 24 Oct 2012, 17:08

wserdx a écrit:A mon avis tu t'emmêles toujours les pinceaux avec n=k (blocage cérébral?).
Fixe par exemple et calcule .

Mais non, k est bien compris entre 0 et n je ne confonds pas...

En allant jusqu'à n=9

ao + 3a1X + 3a3 X^3 + 3a6 X^6 + 3a9 X^9

On ne compte pas les 1+j²+j²n lorsque n n'est pas multiple de 3 puisque cela vaut 0 par conséquent tout s'annule.

Donc les coefficient c'est bien (la somme des 3an) + ao

par **wserdx** » 24 Oct 2012, 17:17

Concentre-toi, relis ce que tu as écris, il y a un terme en trop dans ton résultat.
Si tu as bien compris, les degrés des monômes restants sont-ils tous multiples de 3 ?
Si oui, peux-tu faire apparaître une expression polynomiale de la forme

? si oui, que vaut

?

par **Rockleader** » 24 Oct 2012, 17:31

wserdx a écrit:Concentre-toi, relis ce que tu as écris, il y a un terme en trop dans ton résultat.
Si tu as bien compris, les degrés des monômes restants sont-ils tous multiples de 3 ?
Si oui, peux-tu faire apparaître une expression polynomiale de la forme ? si oui, que vaut ?

Tous ceux qui restent sont multiples de 3 sauf ao, à moins que ao soit la terme qui est en trop au quel cas tous le sont.

Mais je ne comprends pas pourquoi, quand on fait la somme des 3 polynomes on a 3ao, sauf que l'on multiplie le tout par 1/3 donc on a bien ao

par **wserdx** » 24 Oct 2012, 17:47

Non , c'est le terme de degré 1 en trop. Revois ton calcul.

par **Rockleader** » 24 Oct 2012, 18:21

wserdx a écrit:Non , c'est le terme de degré 1 en trop. Revois ton calcul.

Pourtant,

a1X + a1jX + a1j²X

a1X(1+j+j²)

1 est multiple de 3 donc 1+j+j² = 3...

Je vois pas où est le problème

par **Doraki** » 24 Oct 2012, 18:26

Rockleader a écrit:1 est multiple de 3 donc 1+j+j² = 3...

Je vois pas où est le problème

Um je demande à voir ton entier k tel que 1 = 3*k

et 0 il est multiple de 3 ? Pourquoi t'as mis 1*a0 au lieu de 3*a0 ou de 0*a0 ?

par **Rockleader** » 24 Oct 2012, 18:31

Doraki a écrit:Um je demande à voir ton entier k tel que 1 = 3*k

et 0 il est multiple de 3 ? Pourquoi t'as mis 1*a0 au lieu de 3*a0 ou de 0*a0 ?

Car le cas X^0 est particulier et vaut 1...

1 est un diviseur de 3, autant pour moi donc effectivement le terme de degré 1 s'en va...

par **Doraki** » 24 Oct 2012, 18:39

si P(X) = 5, que vaut P(X) + P(jX) + P(j²X) ? Tu dis que ça fait 5 ?

par **Rockleader** » 24 Oct 2012, 18:45

Doraki a écrit:si P(X) = 5, que vaut P(X) + P(jX) + P(j²X) ? Tu dis que ça fait 5 ?

Je vois as comment tu peux dire que P(X) = 5 alors que P(X) est forcément exprimer en fonction de X.

A moins que X = 0 auquel cas on a ao = 5 et P(X) + P(jX) + P(j²X) vaudrait 15...

par **Doraki** » 24 Oct 2012, 19:01

je veux dire P(X) = 5*X^0.
C'est a0 X^0 + a1 X^1 + a2 X^2 + ... avec a0 = 5, a1 = 0, a2 = 0, ...

par **juju33270** » 24 Oct 2012, 19:12

Bonsoir à tous les deux. J'ai un problème à savoir comment montrer qu'il existe un unique polynome.

par **Rockleader** » 24 Oct 2012, 19:13

juju33270 a écrit:Bonsoir à tous les deux. J'ai un problème à savoir comment montrer qu'il existe un unique polynome.

Oui c'est aussi là que je bloque.

par **wserdx** » 24 Oct 2012, 19:50

Bon, peux-tu donner une expression des coefficients

en fonction des coefficients

?
Donne une expression pour n=6 par exemple pour voir si tu as compris.

par **Rockleader** » 24 Oct 2012, 19:56

wserdx a écrit:Bon, peux-tu donner une expression des coefficients en fonction des coefficients ?
Donne une expression pour n=6 par exemple pour voir si tu as compris.

Pour n=6

ao + 3a3X^3 + 6a6X^6

C'est bon ?

Après j'ai du mal à donner une expression de Ck en fonction de ak. Je vois ce que ça fait, mais je ne sais pas comment le dire.

Ensuite pour prouver l'unicité de l'écriture, je pensais supposer qu'il n'était pas unique, pour au final retomber sur deux polynomes égaux. Mais je ne sais pas trop comment m'y prendre mà non plus...

par **wserdx** » 24 Oct 2012, 21:08

Les degrés c'est bon, mais pas les coefficients.
Je te laisse deviner le résultat:

Peux-tu faire apparaître une expression polynomiale de la forme

? si oui, que vaut

?

par **Rockleader** » 24 Oct 2012, 21:50

wserdx a écrit:Les degrés c'est bon, mais pas les coefficients.
Je te laisse deviner le résultat:

Peux-tu faire apparaître une expression polynomiale de la forme ? si oui, que vaut ?

Q(X^3) est défini comme étant la somme divisé par 3 des polynômes précédent...

Donc une expression de Q(X) serait la racine cubique de Q(X^3) ?

Le résultat de ce que tu as écrit: ao +a3X^3 + ... +anX^n

Mais, pourquoi dans cette écriture tu ne prends pas en compte le fait que pour n multiple de 3, 1+j²+j²n valent 3 ?
Ou alors, on fait exprès de diviser n par 3 à droite pour éliminer le coefficient 3 à gauche ?

calculer explicitement les coefficients ck, 0 <= k <= n, en fonction des coefficients de P.

Cela voudrait dire que ckX^k = a3kX^3k ?

Ensuite, pour prouver l'unicité de Q, est ce que je suis obligé de passer par Q(X), on ne peut pas garder Q(X^3) comme semble le suggérer l'énoncé ?

par **wserdx** » 24 Oct 2012, 22:07

Je pensais que tu avais vu que je te donnais directement le résultat

Il faut savoir reconnaitre que dans cette dernière expression

apparaît à chaque fois avec un degré multiple de 3.
D'où

ça n'a rien à voir avec une racine cubique!
Je te laisse un peu réfléchir à l'unicité.

par **Rockleader** » 24 Oct 2012, 22:21

Ok, mais ce que je ne comprend spas c'est que moi on me dit la somme de k=0 à n (et non à n/3)

Alors daccord n est multiple de 3, donc on peut le diviser par 3, mais pourquoi est ce que l'on s'arrête pour n/3 et non pour n ?

Pour l'unicité je dirais que quelque soit le X, les coefficients restent toujours identiques, il ne peut donc pas y avoir deux coefficient différents pour un même monome...

après je suis pas sur que d'un point de vue mathématique cela puisse s'expliquer ainsi...ou du moins je ne saurais pas comment écrire ça rigoureusement.

Plus exactement, le coefficient dominant de an est 1 et donc constant, le polynome serait donc unique ce qui n'est pas le cas avec une variable.

A la limite je pense pouvoir me débrouiller pour terminer cette question maintenant.

La 3ème quand à elle semble évidente quand on a compris le truc...

B s'écrirait

ao + a1X^3 + ... + akX^3k

pour la même raison ce polynome est unique coef dominant =1

Donc B(X^3) = A(X) wi et seulement s'il s'agit du même polynome ?

par **wserdx** » 25 Oct 2012, 06:57

Dans la somme, si tu lis bien, le monôme générique est

et non

, parce que justement il n'y a que des monômes de degré multiple de 3.
Pour l'unicité, oui les coefficients sont imposés, il n'y a donc qu'une seule écriture possible.

par **Rockleader** » 25 Oct 2012, 12:15

D'accord, mais comment le formuler correctement pour que ça soit juste ?

Pour la 4, je ne sais pas trop comment procéder

Soit R un polynome a coefficient complexes. On pose
S(X) = R(X)R(jX)R(j2X) :
Montrer qu'il existe un unique polynome T tel que
T(X^3) = S(X) :

On remarque que S = 3Q(X^3)
Q étant unique, S ne peut être qu'unique et donc S et T(X^3) ne sont égaux que s'il s'agit du même polynome.

Là encore je ne sais pas si c'est la bonne façon de faire, en tout cas je doutes énormément sur la formulation.

(A rendre demain, donc si je pouvais être sur de ce que j'ai à écrire sur ma copie^^)

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