Je viens de calculer le polynome caractéristique de la matrice :
Voiçi comment j'ai fait :
Alors, le polynome caractéristique ne s'écrit pas de la manire suivante :
Pouvez vous deceler mon erreur ?
Merci infiniment !
Polynome caractéristique !
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Polynome caractéristique !
par barbu23 » 20 Jan 2009, 20:20
Bonsoir :
Je viens de calculer le polynome caractéristique de la matrice :
Voiçi comment j'ai fait :
 = \det ( A-x.I_{3} ) = \left|<br />\begin{array}{ccc}<br />1-x & 1 & 1 \\ 1 & 1-x & 1 \\ 1 & 1 & 1-x<br />\end{array}<br />\right| = \left|<br />\begin{array}{ccc}<br />1-x & 1 & 0 \\ 1 & 1-x & -x \\ 1 & 1 & x<br />\end{array}<br />\right| = x . \left|<br />\begin{array}{ccc}<br />1-x & 1 & 0 \\ 1 & 1-x & -1 \\ 1 & 1 & 1<br />\end{array}<br />\right| = x . \left|<br />\begin{array}{ccc}<br />1-x & 1 & 0 \\ 2 & 2-x & 0 \\ 1 & 1 & 1<br />\end{array}<br />\right| = $.<br />$\ x . \left|<br />\begin{array}{ccc}<br />1-x & 1 \\ 2 & 2-x <br />\end{array} = x . [(1-x)(2-x)-2] =x.(x^{2}-3x) = x^{2}.(x-3) $)
Alors, le polynome caractéristique ne s'écrit pas de la manire suivante :
 = (-1)^{n} (x- \lambda_{1}) ... (x- \lambda_{n}) $)
mais seulement de cette manière ( qui est vraissemblablement fausse ) :  = (x- \lambda_{1}) ... (x- \lambda_{n}) $)
Pouvez vous deceler mon erreur ?
Merci infiniment !
Je viens de calculer le polynome caractéristique de la matrice :
Voiçi comment j'ai fait :
Alors, le polynome caractéristique ne s'écrit pas de la manire suivante :
Pouvez vous deceler mon erreur ?
Merci infiniment !
par kazeriahm » 20 Jan 2009, 20:33
Le coefficient dominant du polynome caractèristique d'une matrice n*n est (-1)^n.
Tu as oublié un signe - dans ton calcul, je ne sais ou.
Une autre manière de diagonaliser J est de remarquer qu'elle est symètrique, qu'elle est de rang 1 donc que son noyau est de rang 2 et ainsi que 0 est valeur propre double. Ensuite tu passe à la trace pour obtenir la dernière valeur propre qui est 3 ici (n dans le cas général).
Tu as oublié un signe - dans ton calcul, je ne sais ou.
Une autre manière de diagonaliser J est de remarquer qu'elle est symètrique, qu'elle est de rang 1 donc que son noyau est de rang 2 et ainsi que 0 est valeur propre double. Ensuite tu passe à la trace pour obtenir la dernière valeur propre qui est 3 ici (n dans le cas général).
par L.A. » 20 Jan 2009, 20:33
Bonsoir.
Dans le passage du 2è det au 3è, tu multiplie la dernière colonne par -1 avant d'ajouter la 2e ? du coup le det est opposé.
Dans le passage du 2è det au 3è, tu multiplie la dernière colonne par -1 avant d'ajouter la 2e ? du coup le det est opposé.
par barbu23 » 20 Jan 2009, 21:02
Merci beaucoup pour ces précisions "L.A." et "Kazeriahm" :
J'ai une autre question à vous poser :
La matrice de passage que j'ai trouvé est égale à :
POuvez vous me dire comment calcule la matrice inverse de
qui est 
sans utiliser la comatrice ?
J'ai pensez à résoudre le système :
, mais j'y arrive pas : rien ne dit que : est commutent !
C'est un cours qu'on a fait à la fac il y'a plusieurs année et j'ai presque tout oublié ! :mur: :hum:
Merci infiniment !
J'ai une autre question à vous poser :
La matrice de passage que j'ai trouvé est égale à :
POuvez vous me dire comment calcule la matrice inverse de
J'ai pensez à résoudre le système :
C'est un cours qu'on a fait à la fac il y'a plusieurs année et j'ai presque tout oublié ! :mur: :hum:
Merci infiniment !
par L.A. » 20 Jan 2009, 21:07
P et P-1 commutent toujours puisque PP-1 = In = P-1P
Après moi j'aime bien la comatrice en général. mais on peut aussi chercher à résoudre le sytème PX = Y
Après moi j'aime bien la comatrice en général. mais on peut aussi chercher à résoudre le sytème PX = Y
par barbu23 » 20 Jan 2009, 21:17
L.A. a écrit:P et P-1 commutent toujours puisque PP-1 = In = P-1P
Après moi j'aime bien la comatrice en général. mais on peut aussi chercher à résoudre le sytème PX = Y
Merci "L.A." ! :happy2:
par sniperamine » 21 Jan 2009, 01:18
sinon à titre d'information il y'a aussi une autre méthode tu poses
A I puis tu developpes sur les lignes ou les colonnes pour rendre A = I et les memes opérations tu les appliques sur I ainsi tu trouveras A^-1 quand tu auras A= I
A I puis tu developpes sur les lignes ou les colonnes pour rendre A = I et les memes opérations tu les appliques sur I ainsi tu trouveras A^-1 quand tu auras A= I
par barbu23 » 21 Jan 2009, 01:20
Oui, voilà, on l'appelle : "methode de Gauss" ou "methode de pivot" ! j'ai oublié !
Merci "sniperamine" ! :happy2:
Merci "sniperamine" ! :happy2:
par yos » 21 Jan 2009, 11:59
Sinon, sans le polynôme caractéristique, on voit tout de suite que A est de rang 1, donc un espace propre 
de dimension 2. Ensuite =^t(333))
donc un autre espace propre 
. Donc c'est diagonalisé en diag(0,0,3). Pour inverser une 3X3, la comatrice, c'est quand même le plus rapide.
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