Polynôme caractéristique

[legeniedesalpages]

Bonjour,

dans la démo de la formule de transitivité il y a un point que j'ai du mal à saisir:

formule de la transitivité:

Soit une suite d'extension de corps et .

On note le polynôme caractéristique de relativement à , et le polynôme caractéristique de relativement à .

On a

dém.:

Notons et

Soient une base du -espace .

On a . Comme , est stable par le -endomorphisme (linéaire sur ) , donc ,
...


déjà là je ne vois pas pourquoi on a ,

ça doit être un résultat d'algèbre linéaire, mais je ne l'ai pas retrouvé.

Merci pour votre aide.

[Doraki]

est bien le polynôme caractéristique du K-endomorphisme de M qu'est la multiplication par ?

déjà là je ne vois pas pourquoi on a ,

ça doit être un résultat d'algèbre linéaire, mais je ne l'ai pas retrouvé.

En effet c'est un résultat d'algèbre linéaire.
Choisit une K-base quelconque pour chaque , alors la réunion de ces bases est une K-base de M.
Quand tu écris l'endomorphisme dans cette base, les sous-espaces étant stables, la matrice est nulle sauf sur les blocs correspondants aux endomorphismes des , qui sont alignés sur la diagonale.
Quand tu calcules le déterminant de ça, tu tombes bien sur le produit des déterminants des blocs de chaque endomorphisme de .

Ensuite faut montrer que ces blocs sont tous pareils avec des bases bien choisies.

[legeniedesalpages]

merci, c'est à peu près ce que je pensais.
Pour la suite de la preuve, comme tu disais on choisit une base du -espace ,

alors est une base de -espace , en calculant dans cette base .

Là j'ai pas saisi ce qu'on devait calculer pour avoir cette égalité, c'est le dernier point qui me manque dans la compréhension de cette preuve. :briques:

[Doraki]

Ca veut dire que les matrices de chaque bloc sont identiques et sont la matrice du K-endomorphisme de L qu'est la multiplication par , dans la K-base de L :

Si tu sais que ,
alors t'es d'accord que pour tout , ?

[legeniedesalpages]

ah oui je vois, c'est un peu plus clair maintenant.

Merci Doraki.