Polynome caracteristique

[magyy]

Bonjour,
je n'arrive pas a faire cette demonstration:
Démontrer qu'un polynome caracteristique est de degré n.
Merci d'avance!

[Ben314]

Salut.
Moi, j'arrive pas à montrer que . Tu peut m'aider ?

Plus sérieusement, tu pense vraiment que ta question, avec toute les magnifiques informations que tu nous donne concernant le contexte est qui représente quoi puisse avoir un sens ?

Par exemple, je te propose ça comme "preuve" :
Soit P un polynôme "caractéristique" (de quoi ?, on s'en fout, à coeff dans quel anneau/corps ? on s'en fout).
On pose .
Et on a donc bien P qui est de degré n

[aymanemaysae]

Bonjour;
d'abord, j'exprime ma solidarité et ma compassion à tous ceux qui ont été sinistrés par les intempéries qui touchent le Centre et l'Ile-de-France: comme francophone, ma boussole indique depuis toujours Paris, et mon cœur bat au rythme de LA MARSEILLAISE, et j'en suis fier.

Ceci dit, je crois que M.ben314 a raison d'insister sur l'importance de la définition du contexte, surtout que la démonstration demandée pour un polynôme caractéristique d'un endomorphisme en dimension finie est laborieuse.

[aymanemaysae]

Bonjour;
Le sujet du fil me paraît très intéressant, surtout que c'est une étape pour démontrer le théorème suivant:

Soit un -espace vectoriel de dimension , un endomorphisme de E (je m'excuse, je n'ai pas su comment écrire le L(E)) , et le polynôme caractéristique de ,

alors avec la trace de .

Soit une base de \math E , et la matrice représentative de dans .
L'endomorphisme de a pour matrice représentative dans la base , donc .

Appelons les vecteurs de qui ont pour coordonnées dans la base canonique de les valeurs apparaissant en colonnes dans , et les vecteurs de ,

alors et .

On peut donc développer ce déterminant par n-linéarité et obtenir termes en tout , et affirmer que est une expression polynômiale en \lambda à coefficients dans K .

Le terme de plus haut degré correspond à l'unique terme où n'apparaissent que les , donc c'est le terme , donc est de degré n.

Le terme constant correspond lui aussi à l'unique terme où n'apparaissent que les , donc c'est le terme .

Pour le terme de degré (n-1) je laisserai la démonstration pour autrui.

Cette démonstration - pour être franc - n'est pas de mon œuvre, c'est une des que nous avons fait au cours et donc beaucoup de versions se trouvent sur le Net.

Merci.

[samoufar]

Bonjour,

Une autre façon de voir les choses serait de revenir à la définition du déterminant par la formule de Leibniz, qui s'écrit pour :

.

Elle semble barbare a priori, mais en fait, tout ce qu'elle veut dire, c'est que le déterminant d'une matrice est la somme sur tous les choix de coefficients possibles de telle sorte qu'on en prenne exactement un par colonne et par ligne. Cette définition donne alors

.

On montre par cette même formule qu'il n'y a pas d'autres termes d'ordre (càd si on "choisit" coefficients sur la diagonale dans le calcul du déterminant, alors la formule de Leibniz nous dit que le dernier coefficient est aussi sur la diagonale. Autre formulation équivalente : il n'existe pas de permutation de qui possède exactement points fixes).

Enfin, on trouve le dernier coefficient en calculant , ce qui donne .

Au passage, tu peux utiliser \mathcal{L}(E) pour avoir (certains n'aiment pas, mais bon)

[aymanemaysae]

Merci pour l'intérêt que vous avez porté à ma démonstration, ainsi que pour le tuyau "Latex" .