Polynome caractéristique.

[Mathusalem]

Bonjour,
J'ai le problème suivant, et malgré mes efforts, je n'arrive pas à conclure:

Il faut dire oui/non, puis justifier :

Soient U,W des S-E-V de V, un E-V.
V = Somme directe U + W
Soient
-R un opérateur sur U,
-S un opérateur sur W.
-T un opérateur sur V tel que T(u + w) = R(u) + S(w), avec u dans U, w dans W.

Est-il vrai que Ct(x) = Cr(x)Cs(x) ?

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Je n'arrive à rien de très concluant. Par Caley-Hamilton on peut vérifier que pour S, R, et T on obtient 0 = 0, si on remplace x par ces opérateurs.
Autrement, il y a aussi que Cr(x)Cs(x) et Ct(x) sont deux polynômes annulateurs de T du même degré (Vu que U et W sont en somme directe).
Mais je n'ai aucun résultat qui me garantit l'unicité du polynôme caractéristique (D'ailleurs un même p. caractéristique peut correspondre a différents polynomes..)

Any idea ? Je rappelle que sur C la question est triviale. c'est sur R que ça l'est moins.
A+

[ffpower]

Tu écris T dans une base adaptée ( une base de U union une base de V )
La matrice de T dans cette base sera par blocs : un bloc correspondant à R, un bloc correspondant à S. Tu enleves X*I, tu prends le det, et tu utilise que le det est égal au produit des dets des blocs, et tu as le résultat..

[Mathusalem]

Tu écris T dans une base adaptée ( une base de U union une base de V )
La matrice de T dans cette base sera par blocs : un bloc correspondant à R, un bloc correspondant à S. Tu enleves X*I, tu prends le det, et tu utilise que le det est égal au produit des dets des blocs, et tu as le résultat..

Merci, j'y ai pensé. Mais on n'a pas le résultat que le produit du det des blocs = det matrice par blocs.
Y a-t-il un moyen de ne pas s'en servir ?

[ffpower]

Je sais pas alors, ca dépend de ce dont tu viens bien te servir. Mais si tu consideres que c'est trivial dans C ( en trigonalisant je suppose ), alors ben ca implique le résultat dans R, il suffit de dire que R est inclus dans C..

[Mathusalem]

Je sais pas alors, ca dépend de ce dont tu viens bien te servir. Mais si tu consideres que c'est trivial dans C ( en trigonalisant je suppose ), alors ben ca implique le résultat dans R, il suffit de dire que R est inclus dans C..

Un opérateur normal est toujours diagonalisable dans C... Il ne l'est pas dans R. Donc je pense pas que je puisse faire appel à cet argument.