Petit soucis équa. diff.

[Kinoa]

Bonsoir à tous !

J'ai un vrai problème avec cet exercice, je ne sais pas comment m'y prendre :


Démontrer que la solution de l'équation :

y ' = cos(x*(e^(xy))) qui vérifie y(0) = 0,

vérifie également |y(x)| <= |x| (lire inférieur ou égale). Pour tout x du domaine de définition de la solution.

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Bon je sais déjà que pour ce type d'équation, on ne peut pas aboutir à une solution y(x) = ... En tout cas pas avec les outils que je possède .

Du coup on admet qu'il y a une solution, d'après l'énoncé. Maintenant pour prouver ce qu'ils demandent, je ne sais pas comment procéder.. Je pense devoir faire ça graphiquement, car d'après mon cours, il y a une signification graphique aux équa. diff. (ça sort des graphes assez étrange).. Seulement je ne saisis pas comment on fait..

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ? Car j'ai un autre exercice à faire du même type, là je suis un peu bloqué.. :hein:

Merci d'avance !

Kinoa.

[Sa Majesté]

|y'| <= 1 et y(0) = 0 et TAF

[Kinoa]

|y'| <= 1 et y(0) = 0 et TAF

Bonsoir...

Désolé mais je ne comprends pas ton message.. Peux-tu être un peu plus clair ?.. Je sais que -1 < cos x < 1, je suppose que c'est ta remarque, mais qu'est-ce que "TAF" ?..

Merci.

[Kinoa]

Ah.. tu veux dire qu'il suffit simplement d'intégrer y' pour arriver à l'encadrement !?

[mrif]

Ah.. tu veux dire qu'il suffit simplement d'intégrer y' pour arriver à l'encadrement !?

TAF = théorème des accroissements finis

[mrif]

Le théorème des accroissements finis dit:
si f est une fonction définie et continue sur [a;b], dérivable sur ]a,b[ alors il existe c appartenant à ]a,b[ tq f(b) = f(a) + (b-a)f'(c).

Dans ton exercice on applique ce théorème à l'intervalle [0,x] si x est positif et à l'intervalle [x,0] si x est négatif.
x>0: y(x) = 0+xy'(c) comme y'(c) est un cosinus on a bien |y(x)| <= |x|
x<0: y(0) = y(x) + (0-x)y'(c) ce qui donne encore y(x) = xy'(c) donc |y(x)| <= |x|
Pour x = 0 y(0) = 0 et on bien |y(0)| <= |0|
Donc l'inégalité est vérifiée pour tout x appartenant au domaine de définition de la solution.

[Kinoa]

Bonsoir,

Ok, je crois avoir saisi, je vais essayer de le refaire et je te tiens au courant :).

Merci bien !

Kinoa.

[Kinoa]

Ok, je te confirmes que c'est ok, j'ai saisi. Merci pour le coup de main encore une fois :).

Kinoa.