équa. diff.

par **fahr451** » 01 Mai 2007, 18:25

il y a un demi siècle les équa diffs étaient de la botanique
si elle est comme çi on fait ça si elle comme ci on fait ci si elle est ni comme ci ni comme ça on est désemparé

puis vinrent les méthodes numériques de calcul approché avec des choses extrèmement intéressantes stabilité consistance

par **Joker62** » 01 Mai 2007, 18:38

Comment c'est moche ce sujet lol
Je retire ce que j'ai dit !!! :D

par **sue** » 02 Mai 2007, 09:04

Bonjour,

j'étais un peu pressée hier , me restait donc en tête une tite question !

tu disais fahr :
"y" + p(x) y = 0 on ne sait pas résoudre dans le cas général"

on sait pas faire parce qu'on a montré que c'est infaisable ou parce qu'on a pas encore arrivé à faire une généralisation vue que ça dépend de la nature de p(x) ? (je parle surtout du second ordre)

je pinaille je sais mais faut que je sache , peut être un jour j'offrirai qq chose à l'humanité en trouvant la soluce :ptdr: :ptdr:

par **alben** » 02 Mai 2007, 09:55

Bonjour,

Que de questions !
Ce qu'il faut voir c'est que l'on arrive presque toujours à résoudre une équa diff par des méthodes numériques.
La technique est simple : on connait y'o et yo au point de départ, on peut donc calculer y"o par l'équation y"=f(y'o,yo,xo). En se plaçant peu plus loin du point de départ, en x1=xo+h, on sait que y'1 sera à peu près égal à y'o+h.y"o et y"1=f(y'1,y1,x1) et ainsi de suite .... Plus h sera petit meilleure sera la précision
En fait, il existe des méthodes plus efficaces et plus précises.
Tout ça pour dire que l'on arrive à calculer, étudier... des fonctions solutions d'équations différentielles "insolubles".
Le problème, c'est que ces fonctions ne peuvent pas s'écrire comme combinaisons (avec les 4 opérations) de celles connues (polynomes, fonctions trigo, exponentielle et log et c'est curieusement tout).
Il existe plein d'autres fonctions dites "spéciales" qui sont bien étudiées et définies comme solution d'une équation différentielle.

par **alben** » 02 Mai 2007, 10:06

En complément car je n'ai pas vraiment répondu à ta question :
Dans la plupart des cas assez courant, on a vraiment prouvé que la solution ne pouvait pas s'écrire avec les fonctions usuelles, donc il n'y a rien à découvrir.
Dans d'autres cas, on a réussi à résoudre l'équation à l'aide de fonctions spéciales : si tu rajoutes une vingtaine de fonctions spéciales, de nombreuses équations deviennent solubles mais la plus grande partie restera sans solution.
par curiosité, les fonctions bizarres

par **yos** » 02 Mai 2007, 13:52

J'en remets une couche sur les questions de Sue car je me suis posé les mêmes en mon temps (donc il y a longtemps).

Selon les programmes de TS actuels, la fonction exp est inventée pour résoudre l'ED y'=y (historiquement, il y a matière à débat mais c'est pas le sujet). Après,c'est une chance car elle permet aussi de résoudre ay'+by=0 et ay''+by'+cy=0.
Evidemment ça marche aussi pour ay'''+by''+cy'+dy=0 et même pour les ordres supérieurs. Le principe est toujours le même, on cherche si des fois par hasard une fonction genre

serait solution. On est conduit à trouver les racines d'un polynôme de degré n, où n est l'ordre de l'équaton.
Pour n=3, c'est déjà plus très marrant. Ce que suggère Joker (transformer l'ED en un système linéaire, diagonaliser la matrice associée) est un joli détour pour tomber sur le même polynôme de degré 3 ; je lui suggère d'essayer sur un exemple; que cela ne grille pas l'algèbre linéaire à ses yeux.

par **fahr451** » 02 Mai 2007, 14:19

oui yos

mais l'algèbre linéaire permet rapidement (n quelconque) de trouver une base de solutions

surtout quand les valeurs propres sont racines multiples du polynôme caractéristique

par **yos** » 02 Mai 2007, 15:06

Loin de moins l'envie de critiquer l'algèbre linéaire. C'est seulement le côté pratique du passage à un système linéaire qui est douteux (pour une ED à coefs constants d'ordre 2 ou 3 par exemple).

par **sandrine_guillerme** » 02 Mai 2007, 15:08

sue a écrit: j'ai pensé à ça mais je n'étais pas sure de l'unicité

Un petit commentaire la dessus,

On m'avait fait faire un exo , y a un moment déjà pour prouver que la seule fonction qui est égal à sa dérivée .. ( et f(0)=1) est unique, et montrer que c'est bien la fonction exponnentielle,

Donc tu peux en être sure .. !

par **fahr451** » 02 Mai 2007, 15:08

oui 2 ou 3 on fait ça très bien à la main

par **sue** » 02 Mai 2007, 16:47

ah bah je vous remercie tous , c'est bien intéressant de savoir tout ça :we:

merci aussi pour le lien Alben , j'ai découvert plein de fonctions dont j'ignorais l'existence !

je passe à la pratique mnt .

bonne journée .

équa. diff.

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