Equa diff ordre 2 : discriminant négatif

[Stéphanois57]

Bonjour,

J'aimerais avoir un peu d'aide concernant les équations différentielles d'ordre 2 à second membre, lorsque le discriminant est négatif.
Par exemple, en voici une :
;););)+2;);)+5;)=5cos(2;));)3sin(2;)) que l'on nommera E.
Là je comprends la procédure de comment trouver une équation caractéristique, finalement on trouve comme équation caractéristique : ;)^-x * (;)1 cos(2;)) + ;)2 sin(2;))).

C'est ensuite que je ne comprends plus comment trouver le degrés de l'équation particulière, puisque le discriminant est négatif. Dans la correction que je possède, il est écrit ";) = 2 et 2;) n’est pas une racine de l’équation caractéristique". Mais d'où sortent ce 2 et ce 2i ?

Merci d'avance pour votre réponse.

[mathelot]

Bonjour,

J'aimerais avoir un peu d'aide concernant les équations différentielles d'ordre 2 à second membre, lorsque le discriminant est négatif.
Par exemple, en voici une :
;);)+2;);)+5;)=5cos(2;));)3sin(2;)) que l'on nommera E.
Là je comprends la procédure de comment trouver une équation caractéristique, finalement on trouve comme équation caractéristique : ^-x * (;)1 cos(2;)) + 2 sin(2;))).

C'est ensuite que je ne comprends plus comment trouver le degrés de l'équation particulière, puisque le discriminant est négatif. Dans la correction que je possède, il est écrit ";) = 2 et 2;) n’est pas une racine de l’équation caractéristique". Mais d'où sortent ce 2 et ce 2i ?

Merci d'avance pour votre réponse.

On cherche une base constituée de deux fonctions exponentielles, base de l'espace vectoriel
des solutions (équation sans second membre).
On pose donc ce qui donne à la dérivation


avec

On trouve comme solution
et
on peut combiner C-linéairement les solutions de manière que la base soit
constituées de deux fonctions réelles

et


Quand on résout

on obtient et
ce qui conduit aux deux R-solutions
et

[Robot]

Je ne connais pas les notations de ton cours. Je risque une hypothèse (mais c'est à toi de relire ton cours pour vérifier !). Le est le coefficient devant dans et , et le (avec ) est le coefficient devant dans l'écriture exponentielle : , .
Comme ni ni son conjugué ne sont solutions de l'équation caractéristique, on cherche une solution particulière de même forme que le second membre (sans multiplication par ), c.-à-d. de la forme .

[Stéphanois57]

Bonjour à vous deux,

Tout d'abord merci beaucoup pour vos réponses rapides ! Je pense avoir compris.

Concernant l'hypothèse de Robot, il me semble qu'elle est bonne, car j'ai vérifié avec une autre équa diff, et si je prends ton raisonnement, je trouve comme à la correction. Je ne pense pas que ce soit un coup de chance si ça marche sur 2 équations différentes, donc ça doit être bon.

Encore merci, et passez un bon réveillon !

[Robot]

L'hypothèse que je faisais, c'était sur les notations.
Pour la recherche de la solution particulière, pas d'hypothèse mais une certitude.

[mathelot]

On considère deux espaces vectoriels:



qui est un C-espace vectoriel de dimension 2
et qui admet une base formée de deux fonctions réelles



qui est un R-espace vectoriel de dimension 2

[Robot]

Mathelot, tu réponds une nouvelle fois à côté de la plaque : la question porte sur la recherche de solution particulière de l'équation complète.

[mathelot]

je ne répond pas à côté de la plaque parce que tout simplement je ne répond pas. :we:
Ce qui m'intéresse, hors résolution du problème (le problème a été tout à fait résolu),
ce sont les rapports entre les deux noyaux, l'un C-espace vectoriel et l'autre R-espace vectoriel.
de l'application

Ceci étant, j'hésitais sur la forme d'une solution particulière.

De plus, on ne lui a pas parlé de la méthode de variations des constantes
qui est un peu particulière dès que l'équation est d'ordre supérieur à 1.