Equa diff chgt de variable

par **atsuko** » 20 Fév 2009, 13:52

Bonjour
alors voila l'intitulé de la question :
"Résoudre sur ]o,inf[ 4xy"+2y'-y=0 en utilisant le changement de variable x=t²"; pour aider, un prof a envoyé un mail disant qu'il suffisait de dériver deux fois y(t^2)... je suis pas sure de comprendre, ça veut dire que y dépend de x? ou que c'est plutot (xy)"?

par **uztop** » 20 Fév 2009, 14:29

Bonjour,

oui, dans une equation comme celle-ci y est une fonction de x (quand on ecrit y, c'est un abus d'ecriture, il faudrait ecrire y(x))
Pour appliquer le conseil donne par ton prof, il faut donc connaitre la derivee d'une fonction composee.

par **atsuko** » 20 Fév 2009, 14:58

ok du coup avec le changement de variable on a 4t²y"(t²)+2y'(t²)-y(t²)=0 c'est ça?
et si jme suis pas plantée (y(t²))"=4t²y"(t²)+2y'(t²)
ça complique pas un peu tout au final?

par **uztop** » 20 Fév 2009, 16:20

non attention, on a affaire a une fonction composee y(f(t)) avec f(t)=t²
Quelle est la formule pour deriver une fonction composee ?

par **atsuko** » 20 Fév 2009, 22:02

j'ai beau refaire le calcul je trouve tjs le même résultat
(g(f(t))'=f '(t)g'(f(t))
donc g=y et f(t)=t² donc (y(t²))'= 2t.y'(t²)
puis (y(t²))"=2.y'(t²)+2t(2t.y"(t²))
j'arrive pas à trouver l'erreur :mur:

par **sniperamine** » 20 Fév 2009, 22:15

salut !!! tu peux résoudre ta fonction en utilisant les séries entières c'est plus facile je crois
cordialement

par **uztop** » 20 Fév 2009, 22:16

oui pardon, ton calcul pour (y(t²))" est juste.
Tu peux donc remplacer 4t²y"(t²)+2y'(t²) par (y(t²))" dans l'équation initiale. Tu obtiens donc une équation différentielle très simple. (y(t²))" = y(t²)

par **Lemniscate** » 20 Fév 2009, 22:18

j'ai beau refaire le calcul je trouve tjs le même résultat
(g(f(t))'=f '(t)g'(f(t))
donc g=y et f(t)=t² donc (y(t²))'= 2t.y'(t²)
puis (y(t²))"=2.y'(t²)+2t(2t.y"(t²))
j'arrive pas à trouver l'erreur

C'est normal tu as le bon résultat !

Je crois qu'uztop n'a dérivé qu'une seule fois dans sa tête (c'est ça ?)...

Donc une fois que tu as cela, ton équa diff devient :
g''(t)-g(t)=0 avec g(t)=y(t²)

par **uztop** » 20 Fév 2009, 22:20

Lemniscate a écrit:Je crois qu'uztop n'a dérivé qu'une seule fois dans sa tête (c'est ça ?)...

oui, j'avais regardé trop vite, désolé. J'ai refait les calculs et c'est bon, je trouve bien comme toi Lemniscate.

par **Lemniscate** » 20 Fév 2009, 22:28

sniperamine a écrit:salut !!! tu peux résoudre ta fonction en utilisant les séries entières c'est plus facile je crois
cordialement

En l'occurence la méthode proposé par le professeur d'atsuko est la plus rapide ! Mais c'est vrai que les séries entières constituent une alternative qui marche plus souvent que les "rusettes" comme celle présentée ici !

uztop : on est d'accord mais de toutes façon tu avais rectifié avant que je poste donc pas de souci !

Au fait, notons au passage que (y(t²))'' ne veut rien dire

(on ne peut pas dériver un nombre !) Mais bon ici sur un forum c plus pratique !!! En toute rigeur on est censé écrire g''(t) avec g la fonction définie sur ]0,+oo[ par g(t)=y(t²) ou bien

par **atsuko** » 20 Fév 2009, 22:42

dsl pour les notations et merci à tous

par **sniperamine** » 21 Fév 2009, 05:42

Lemniscate a écrit:En l'occurence la méthode proposé par le professeur d'atsuko est la plus rapide ! Mais c'est vrai que les séries entières constituent une alternative qui marche plus souvent que les "rusettes" comme celle présentée ici !

Oui tout à fait d'accord avec toi :happy2:

Equa diff chgt de variable

equa diff chgt de variable

Qui est en ligne